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①柏拉图的〃理念〃最终可被说成为纯粹的直观，它们不仅适用于彻底表现中的形式部分，而且适用于物质部分——因此可以被表述为彻底的表象，它们完全是被确定的，但同时又包含许多事物，譬如概念——就是说，作为概念的体现，但完全适合于这些概念，请看我在第二十八节中作的说明。②亚氏〃形而上学〃I．6，比较X．1。
既然位置的不同并没有取消其余的共性，那么我认为以这一认识来代替其它九个公理就更加符合科学的性质，因为科学的目的是通过一般认识特殊，那么，以同一个观念为基础分别表述九条公理这种做法就不那么适当了。而且，亚里士多德说过：〃正是平等性构成了统一性〃也能够适用于几何学的图形。
但是，时间中的纯粹直观，即数学，不存在空间排列上的区别，在这里，除了不同事物的同一性外无任何东西，同样属于概念，而不是其它：因为只有一个5和一个7。我们也许还能在这里发现为什么7＋5＝12是一个先天综合命题的根据，诚如康德意义深远地发现，这个命题是以直观为基础的，而非同一律，如赫尔德在其形而上学批判中所说的。12＝12则是一个同一命题。
因此，在几何学中，只有在对待公理时我们才借助于直观。所有其他公理都要加以论证，即给予一个认识的根据，其真理性要得到每个人的认可。这样即可表现出该定理的逻辑真理性，而不是它的先验真理性（参看第三十和三十二节），由于后者存在于存在根据而非认识根据之中，因此，除了通过直观可以弄清楚之外别无它法。这就说明了为什么这类几何论证尽管明确地表达了已被证明的定理是真的这个信念，但却仍然没有说明为什么它所证明的定理之所以如此。换言之，我们没有找到它的存在根据，但通常这就会激起我们探求其存在根据的强烈愿望。因为通过表明认识根据所进行的证明只能产生信念，而非知识，因此也许可以更准确地把它称为索引而非论证，所以这就是为什么在大多数情况下，当它被直观时，由于完全缺乏认识而带来了一种不适感；而且在这里因为刚确切地知其然，要求知其所以然的欲望就变得更为强烈了。这种印象很像当某物从我们的口袋里变进或变出，而我们却不知如何的感觉。在这类论证中，在没有存在根据的情况下所确定的认识根据，跟某些只提供现象但不能说明其原因的物理理论很相似，例如，莱登福洛斯特的实验由于也可以在粗铂坩埚里获得成功；而由直观发现的几何命题的存在根据，就像我们获得的每一个认识，却能够让我们满意。一但我们找到了存在的根据，我们就会把对于该定理的真理性的信念只建立在该根据上，而非由论证给予我们的认识根据上。例如，让我们看一看欧几里德第一卷中的第六个命题：——
〃假如一个三角形的两个角相等，那么，对应边也相等。〃
欧几里德的论证如下：——
〃设abc为一个三角形，其中Eabc＝Eacb，那么，边ab 肯定等于边ac。
〃因为，如果边ab不等于边ac，那么两条边中必有一边大于另一边。假如边ab大于边ac；从ba取bd等于ca，连接dc。这样，在Fdbc和Fabc中，由于db等ac，而且bc是这两个三角形的公共边，db和bc这两条边分别等于边ac和边bc；Edbc等于Eacb，因此，底边dc等于底边ab，Fdbc等于Fabc，较小的三角形等于较大的三角形，——这是荒谬的。因此，ab不是不等于ac，而是ab等于ac。〃
在论证中，我们得到了该命题真理性的认识根据。但是谁会把对几何真理性的信任建立在这种证明上呢？难道我们不是把我们的信任建立在直观认识的存在根据上？依照存在根据（作为一种不必再行论证的必然性只承认通过直观提供的证据），从另一条线段的两个端点以相同的斜度画两条射线使之相交，其交点到线段两端的距离必然相等；因为这样产生的两个角实际上不过是一个，只是由于位置相对才显出是两个；因此没有根据说两条线会在靠一个终端近而靠另一个终端远的位置上相交。
正是对存在根据的认识向我们揭示了从其条件中而产生的被限定性条件的必然推论——在这个例子中，从等角中得出等边——即表明了它们的联系；而认识根据只表明它们的共存。而且我们甚至还主张，通常的证明方法只能在作为一个例子所给予我们的一个实际图形中使我们相倍它们的共存，而不是无论如何总是共存的；因为，由于没有表明这种必然联系，我们对于这种真理性所得到的信任就只能依赖于归纳法，依赖于这样一个事实：我们发现它在我们所划的每一个图形中都是如此。存在根据并不是在任何情况下，都像在欧几里德第六定理这样一个简单的定理中一样显而易见，但我仍然相信在每一定理中都可使之明白易见，无论它多么复杂，命题总能还原到某一这种简单的直观。另外，我们先天地意识到空间的每一关系的这种存在根据的必然性，同我们先天地意识到每一变化之原因的必然性是完全一致的。当然，在复杂的定理中，要揭示存在根据是很难的，但这种研究不是对几何学研究而言的。因此，为使我所说的意义显得更明白，我现在将要把一个具有适当难度的命题之存在根据找出来，这个命题的根据不是十分明显的。作为一个不十分直接的定理，我以定理十六为例：
〃在任何一个三角形中，延长一边，所成外角大于其他两个内角中的任何一个。〃
欧几里德的证明如下：——
〃假设abc是一个三角形；延长bc边到d，那么，外角acd 将大于任何一个与之相对的内角bac或cba。作ac边中点e，连接be并延长至f，使ef＝eb，连接fc。延长ac到g。由于ae＝ec，be＝ef；两边ae，eb分别等于两边ce、ef；Eaeb＝Ecef（对顶角相等）；因此底边ab＝底边cf，Faeb全等于Fcef。全等三角形中等边所对应的其余两角分别对应相等；因此，Ebae＝Eecf。但Eecd＞Eecf，因此，Eacd＞Ebac。〃
〃同样，假如bc边等分为二，ac边延长到g，可以证明Ebcg，即对顶角acd＞Eabc。〃
我对于这一命题的证明如下：——
若要Ebac等于Eacd，更不用说＞Eacd，线ba对于ca
就要与bd一样在同一方向上（因为这就是两角相等的含义），即它必须要与bd平行；就是说，ba和bd必须永不相交；但是，要形成一个三角形，就必须让它们相交（存在根据），因而必定跟我们要证明的Ebac＝Eacd所要求的条件相反。
若要Eabc等于Eacd，更不用说＞Eacd，线ba必须要对于bd与ac处在同一方向上（因为这就是两角相等的含义），即它必须与ac平行，就是说，ba和ac必须永不相交；但要形成三角形，ba和ac必须相交，这样就必定跟我们要证明的Eabc＝Eacd所要求的条件相反。
我作了以上说明，并非有意提出一个数学论证的新方案，也不是要用我的证明取代欧几里德的证明，因为这一证明的本质并不适合于此，而且事实上它事先假定了平行线的概念，平行线的概念在欧几里德那里出现得较晚。我只是希望表明存在根据是什么，因而说明它与认识根据的不同，认识根据只产生确证，这与认识存在根据是完全不同的一件事。几何的唯一目的在于产生确证，正如我所说，在这种情况中，会给人留下一种不适感，丝毫无助于认识存在的根据——这种认识同一切认识一样，是令人满意愉悦的——这一事实，或许是其他方面的杰出人物之所以如此讨厌数学的原因之一。
我不禁又要给出图，虽然它已在别的地方出现过：因为毋庸语言而只靠视觉，对于毕达哥拉斯定理的真理性所传达的说服力就要比欧几里德的陷井式论证（反证法）强出十倍。
对本章有特别兴趣的读者在我的代表作《作为意志和表象的世界》第一卷第15节和第二卷第13章中，可以找到更详尽的论述。
第7章 论主体的第四类客体以及充足根据律在其中起支配作用的形式
第40节 总的说明
接下来要考察的相对于我们表象能力而言的最后一类客体，不仅相当特别而且非常重要�