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假设规划问题（GMC）：
max E｛GMC（X；ξ）｝
（GMC） s。t。 AX￡b；X30
其中，目标函数为：
不难证明E｛GMC（X；ξ）｝是一个可微的凹函数。可行解集合：
R=｛X｜AC￡b；C30｝
我们将E｛GMC（X；ξ）｝拓广到En，得到新的凹函数：
我们在约束条件中引入摄动变量w、g，得到函数：
其中，w和g分别是m维和n维的向量。不难验证，规划问题（GMC）和下面的无约束规划问题等价，
（P4） max ？（x；0；0）
x？En
我们考虑？（C；w；g）的共轭函数？*（m；l；b），它的变量与？的变量完全不同，即？*是另一空间（对偶空间）里的函数，其定义为：
其中m；l和b分别是n维，m维和n维的向量，由上式可得，
？*（u；l；b）＋？（x；w；g）￡uTx＋lTw＋bTg
取m=0；w=0和g=0，则有
？（x；0；0）￡…？*（0；lb）
我们定义（P？）的对偶规划为：
可以证明以下结论：
（1）（P？）是求极大的凹规划。（D*？）是求极小的凸规划；（D*？）中没有（P？）的变量，反之亦然；（D*？）的对偶规划是（P？）。
（2）（P？）的目标值永远小或等于（D*？）的目标值；若（P4）的最优解存在，则（D*？）的最优解也存在，反之亦然；而且可以由对方的摄动函数的次梯度得出。如果其一的有限最优值存在，则另一个的最优值与之相等。
我们把具体的目标函数和约束代入共轭函数，就得到
我们以供不应求的情况为例，推导（GMC）的对偶规划。因为发生过剩概率为零，所以
E｛GMC（x；ξ）｝=（P…UVC）TX
其中，P=（P1；P2；…；Pn）T；UVC=（UVC1；UVC2；…；UVCn）T。代入上式，
于是，我们得到对偶规划
min…lTb
s。t。 …ATl＋b=P…UVC
l￡0
b￡0
取y=…l；则得到（GMC）的显式的对偶：
（DGMC） min yTb
s。t。 ATy3P…UVC
y30
（GMC）的经济原型是如何最优地配置资源使企业获得最大的创利额，（DGMC）的原型是如何恰如份地评价资源使资源能充分利用。显然，这两个原型也是〃对偶的〃。我们知道，约束矩阵A的元素aij是技术经济系数，aij表示产出一个单位的商品j，需要耗用资源i的数量。因此，矩阵A的第j列表示产出一个单位的商品j所需要的各种资源的数量。于是，对偶规划（DGMC）中的约束：
ATy3P…UVC； y30； y=（y1；y2；…；ym）T
中的y可以视为m种资源的〃价格〃，对企业而言，每生产一个单位的商品j需付出〃成本〃：
不言而喻，这种所谓的〃价格〃和〃成本〃不是真实的市场价格和生产成本，国外一般称这种价格为影子价格（Shadow Price），其有两层含意：一是在确定的资源配置下的机会成本。即影子价格是资源对经济收益的潜在贡献。二是为了优化产出的价值而对每一种生产能量所分配的价值。即在一种特殊情况下，赋予稀缺资源的单位经济价值。利用影子价格y计算出的商品j的单位成本称为隐含成本（imputed cost）。隐含成本也是一种机会成本。
从数学的角度看，如果（GMC）的某个资源约束是松的，则其相应的影子价格为零；即使此资源约束是紧的，其影子价格也会受其它约束的制约。更重要的是影子价格反映的是在约束向量b点的局部性质，因此，把（GMC）的对偶最优解 视为价格或成本时，应当慎重。例如，某种资源的价值不低，但由于企业的储备量比较充裕，则会把它的价值估得很低，甚至认为其价值为零，这显然是不合理的。此外，只用m种资源的利用情况估算产品的成本也是不够全面的。
对偶最优解y的经济解释还可以从数学推导中得到启发。如果我们把（GMC）的第i个资源量bi改为bi＋1（其余不变），则得到一个新的规划（GMC'），后者的最优值和前者的最优值之差恰好是（DGMC）的最优解 的第i个分量 i。这个有趣的事实可以解释为：在资源约束AX￡b和单位获利能力（P…UVC）之下，如果增加一个单位的资源i，则会获得数量为 i的创利额。根据这种观点，（GMC）的对偶最优解 就是资源的边际贡献。虽然人们看待对偶最优解的方式可能不同，但在分析是否应当供应或减少某种资源时，考虑它还是有益处的。
非线性的经济解释与线性的有相仿之处。区别在于有关理论的层次高于线性规划。为了能稍深入地讨论问题，我们引入摄动函数的概念和稳定的概念，假设
原有摄动函数：
对偶摄动函数：
可以证明，F是正常凹函数。我们称（GMC）是稳定的。如果次梯度合理JF（0；0）是非空集合。稳定的含意是 有限且摄动函数F（w；g）在零点不会无限地增大，或（GMC）的最优值是…￥。由非线性规划的对偶理论有以下结论＇2＇：
（1）？*（0；l；b）=F*（l；b）
（2）设F（0；0）有限，则规划 有最优解 ，且
的充要条件是（P？）是稳定的。此外， 是摄动函数 在零点的次梯度的充要条件是上式成立。
（3）若 是闭正常凹函数，则
（4）若？是闭正常凹函数，且设j（0）有限，则规划（P？）有最优解 ，且
（5）若？是闭正常凹函数，则（P？）是稳定的且有最优解 的充要条件为 是稳定的且有最优解 。
根据上述结论和前面对于对偶最优解的经济讨论，我们引入一个新的数学概念一一拟对偶最优解，其定义为：
yi（di）=＇M（b＋di×ei）…M（b）＇/di
其中di是一正数，ei是m维向量，其第i个分量是1，其余为0。M（·）是一极值映射，定义为：M（b）=sup｛E｛GMC（x；ξ）｝｜Ax￡b；x30｝。一般说来di愈小；yi（di）就愈接近对偶最优解。显然，拟对偶最优解表示创利额关于资源的变动率。由此看出，对偶最优解 和bi的乘积恰好是在决策为 时创利额在资源b点关于bi的弹性。至此，我们运用共轭对偶理论分析了创利额的经济模型，并给出了一些经济解释。
勿须讳言，非线性规划理论在经济中的应用是有限的，其原因之一是太数学化。我们引入拟对偶解的目的在于增加对偶理论的实用性。需要指出，拉格朗日乘子常和对偶最优解是一致的。因此，可以通过Kuhn…Tucker条件去求对偶最优解。不过这经常是困难的。
第六章 经济控制论模型
§6。1 系统论方法
一、基本思想
十九世纪的科学发展的突出特点是摒弃了目的范畴；致力于把数学方法与实验方法结合起来；并以还原论作为方法论。虽然近代科学在研究简单系统的物质运动方面取得了成功，但是面对复杂系统提出的诸多问题仍然束手无策。一般系统论的创立，正是在这种背景下应运而生的。系统论的特点在于用系统的观点去看待世界，其研究对象是复杂系统。
系统论和物理主义的区别是什么呢？从方法论的角度看有三个重要不同点：
1）思辩原则代替实验原则
物理主义认为，自然科学可以分成经验（实验）和理论（数学）两个部分，但系统论却使之彻底改观。今天，在分析和研究复杂系统时，实验员被在计算机上模拟系统的数学家代替，理论家则被精通被研究对象并能解释计算机实验结果的经验家代替。我们需要这类思辩实验并非由于实验设备不完善，而是由于被研究对象是复杂系统。对整个复杂系统进行经典意义下的实验，无疑是荒诞的。例如，社会经济系统在时空上不断变化，结构又极其错综松散，因此难以进行全面的模拟。
2）整体论代替还原论
物理主义的基本原则之一是还原论。即在研究整体时先将整体分解成若干部分，然后研究诸部分的性质，再从中可以确定整体的性质。然而复杂系统与简单系统的一个重要的区别就在于，它不遵从还原论。例如，即使我们熟知每个社会基本单位一一家庭的结构，也不能解释社会行为和伦理。
3）目的论代替因果论
物理主义建立在自然定律的基础上。其因果定律源于对简单系统的大量实验，并通常珍述成简单的数学形式。因而欲推翻某一定律，只须做出一个不符合该定律的实验即可。但是复杂系统却不一样，它的许多特性是相互关联的，因而反映系统个别特性的模型可能与系统本身不相容。
那么，什么是系统的定律呢？目的论的答案只有在对复杂系统有关目的性的行为作出假定后，才有可能对其特性进行简单的解释，乃至得到用数学形式表达的定律。
二、基本概念
下面我们对系统论的基本概念作一个描述性的说明。在〃系统〃一词被通俗化的今天，尤其有这个必要。需要说明的是，我们与其说是在形式化的定义，还不如说是解释性的定义。
首先，系统指的是由相互作用的和相互依赖的若干组成部分结合而成的具有特定功能的有机整体。由于客观世界的层次结构，某个系统本身是它所从属的一个更大的系统的组成部分，同时，该系统本身又具有自己的诸要素的体系。系统是由结构和行为来决定的。对系统学来说，结构和行为就象物理学中的空间和时间一样，是一种极为基础的概念。在系统论里，系统的行为理解为系统随时间的动作，而系统的结构则理解为对系统要素间的联系在时间上不变的规定。系统结构随时间的变化可看作是系统的演化。系统结构可划分成两种：形式结构和非形式结构。形式结构指的是直接把位于下一层次水平上的系统看作不可分割的要素。非形式结构指的则是？quot；原始〃要素作为系统的要素。显然，系统结构是一个相对性的概念。因此，在系统结构概念基础上定义〃复杂系统〃是非常困难的，有时甚至是不可能的。由于这个缘故，有时尽力避开系统结构这个概念，而利用系统行为这个概念。凭直觉可以看出，系统行为的复杂性的增加（至少要到个体这个水平）是与系统非形式结构复杂性的增加联系在一起的。因此我们可以用系统行为的复杂性