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两部优秀的数学著作——《算学启蒙》（公元1299年）和《四元玉鉴》（公
元1303年）。他写书的目的在于“发明《九章》之妙以淑后学”。
朱世杰在“垛积术”以及与垛积相关的内插法方面颇有造诣。他的主要
成就是“四元术”的创立。
把天元术加以推广，用以表示四元以内的方程或方程组，这样就出现了
四元术。四元术分别以天、地、人、物表示4个未知数，叫做天元、地元、
物元、人元。四元术的精华在于相消，即由该方程组经过变形得到一个一元
的高次方程。朱世杰的消去法是中国数学史上一项杰出的成就。在西方，由
方程f（x，y）＝0，g（x，y）＝0消去一个未知量的方法是法国数学家别朱
于1764年给出初步方案，直到1779年出版的《代数方程的一般理论》才正
式发表。这已在朱世杰之后400年。因此，朱世杰的工作在世界数学史上也
是一个重要成果。
宋元四大家为我国古代数学史上的巅峰人物，在全世界也是屈指可数
的。但宋元时期大数学家绝非仅此四人。此外如贾宪、刘益、沈括等人都作
出了重要贡献，“四大家”的成就是直接以他们的成就为基础的。所以，四
大家的成就代表的是当时中华民族所达到的科学文化水平。
珠算的发明和使用，也是这一时期最伟大的数学成就之一。宋元时期，
由于商业的发达，四则运算成了商品市场中频繁使用的科学知识。传统的筹
算法不但使用不方便，计算速度也远远不能满足需要。因此，改革运算工具
就更显得迫切了。
珠算盘是人们在长期的改革实践中，由算筹的小型化和摆弄位置的固定
化演变而来，经过不断地改进才逐渐臻于完善。它是广大劳动者的智慧结晶。
珠算盘最迟在元末便已普遍使用了。
珠算盘不仅外形小巧灵便，而且直接与算法歌诀相配合，真正做到得心
应手，形成了简单快速的珠算术。虽然现在已进入了电子计算机的时代，但
是在以加减运算为主的财会工作中，因为珠算速度可以和小型电子计算器媲
美，所以算盘仍保持着重要的地位。
宋元时期的数学教育和对外交流仍很发达。宋元的官立算学仍与隋唐相
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同。颇具特色的是私立算学不但数量比以前大增，讲授的内容较广泛，效率
也比官设算学高得多。
唐宋以来，中国和阿拉伯保持着密切联系，阿拉伯商人在广州、泉州、
扬州经商，哈里发与中国皇帝之间也时有使臣往来。因此，阿拉伯的历法、
幻方、“格子算”、欧几里得的《原本》等数学知识传入中国，中国的十进
位制、分数记法、“百鸡问题”、贾宪三角形及增乘开方法等内容也出现在
阿拉伯的一些著作中。
有人把宋元时期数学的发达的原因归结为三个方面。首先，工商业和城
市的发展使社会对数学的需要增加。其次，由于宋代地主阶级人数扩大，许
多人终生不得仕进，所以作为六艺之一的数学有较大的吸引力。宋元四大家
的著作都是赋闲时的研究成果。最后，由于数学不需要投入大量资金、人力
和时间，而且成败无伤、不担风险、不触忌讳，其研究规模特别适合于小农
经济。这是中国数学能持续发展的主要原因。
宋元数学虽然达到了顶峰，但也存在着严重的危机。
一方面，对数学社会需要的增加，并没有导致占统治地位的社会意识的
变化。数学仍被认为是“九九贱技”。数学家们在思想上受着压抑。虽然他
们在社会下层受到尊重，但是当他们面对上流社会时，总难免自卑自贱。数
学四大家在为自己著作写的序言中都流露了这种感情。
另一方面，把数学纳入阴阳五行论的轨道是宋元时期数学的一大特点。
由于受宋元时期哲学上的客观唯心论的影响，数学被导向神秘化。
因此，从元末以后，中国数学除珠算以外，发展缓慢，明末以后，中国
数学已经落后于世界先进水平。
总的说来，在中世纪长达一千多年的时期内，由于欧洲的科学一直处于
萧条和不景气局面，科学的中心转移到了东方，于是数学也随之而进入了“东
方的发展阶段”。当时的东方国家，如中国、阿拉伯各国和印度，在数学上
都取得了相当高的成就。而这一时期的欧洲，没有特别重大的数学发现，主
要是吸收古代世界和东方的数学遗产的时期。
值得注意的是，印度人和阿拉伯人对数学的用法偏重实用。他们研究数
学是因为天文学占星术以及工程技术需要数学，他们不会象希腊人那样为了
了解自然而钻研数学，因而缺乏批判精神。他们的主要成就表现在算术和代
数方面，而在几何方面建树甚微。这是因为算术和代数可以依据经验和直观
启示，在社会生活中比较实际。而几何是讲究演绎的，需要整套的逻辑演绎
知识。阿拉伯人和印度人很有创新精神，发明了许多好的方法和计算技巧，
但是他们对算术和代数的逻辑基础漠不关心。
中国古代数学也有浓重的应用数学色彩。通观中国古典数学著作的内
容，几乎都与当时社会生活的实际需要有密切的联系。中国算学经典基本上
都遵从问题集解的体例编纂而成，它涉及的内容反映了当时社会政治、经济、
军事、文化等方面的实际情况和需要。因此，中国古代数学的成就也是表现
在代数和算术方面。
数学在一个自由的学术气氛中最能获得成功。它既需要对物理世界所提
出的问题发生兴趣，又需要有人愿意从抽象方面去思考由这些问题所引起的
概念，而不计其是否能谋取眼前的或实际的利益。因此，在太注重实际的文
明中数学不能繁荣滋长。
反观中世纪后期的欧洲数学，虽然没有特别重大的数学发现，但是通过
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文化交流和传播，使它冲破宗教思想的束缚，恢复了数学的科学精神——认
识自然。这一精神为欧洲数学在下一时期 （文艺复兴时期和近代数学创立时
期）的迅猛发展准备了思想条件。
欧洲数学后来居上，最终在世界数学中一枝独秀。笔者认为，除了历史
的、社会的原因，东西方数学传统上的这些差异也是很有影响的。
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三、物理学
1。阿拉伯物理学
中世纪阿拉伯人继承和发展了古希腊的科学和文化，从而创造了灿烂的
阿拉伯文明。在物理学方面，阿拉伯人也大量吸收了古希腊的科学成就。阿
基米德、亚里士多德、托勒密等人的著作被翻译成阿拉伯文。从10世纪以后，
阿拉伯人在物理学上做了许多工作，尤其是在光学和静力学方面成果显著。
在光学方面，阿拉伯最杰出的物理学家是阿勒·哈增 （约965—1038）。他
曾在埃及任大臣，著有《光学全书》。阿勒·哈增从希腊人那里学到了“反
射定律”——光反射时反射角等于入射角。在此基础上，他又进一步指出：
入射光线、反射光线和法线都在同一平面上。
阿勒·哈增还纠正了托勒密的折射定律。托勒密断言：入射角与反射角
成正比。阿勒·哈增特地做了一个实验来检验。他把一个带有刻度的圆盘垂
直地放置，一半浸入水中。入射光通过盘边的小孔和中心的小孔射入，入射
角和反射角可以从圆盘上的刻度准确读出。他发现：入射光线、折射光线和
法线在同一平面上；托勒密的折射定律只有在入射角较小时才近似成立。可
惜，他也未能得出正确的折射公式。
阿勒·哈增研究过球面镜和抛物柱面镜。他发现：平行于主轴的光线入
射到球面镜上时，则反射到这个轴上。为此，他提出了著名的“阿勒·哈增
问题”：在发光点和眼睛已定的情况下，寻找球面镜、圆锥面镜和圆柱面镜
上的反射点。他对这个问题进行了详细的讨论。
阿勒·哈增还研究了视觉生理学。当时在阿拉伯的沙漠和热带地区眼病
盛行，因此阿拉伯的眼病研究很发达。阿拉伯人很早已经能用手术处理眼病，
关注到了眼睛的生理构造。阿勒·哈增是最早使用了“网膜”、“角膜”、
“玻璃体”、“前房液”等术语的人。他认为视觉是在玻璃体中得到的。他
还反对由柏拉图和欧几里德提出的关于视觉是由眼睛发出光线的学说，而赞
成德谟克利特的观点，认为光线是从被观察的物体以球面形式发射出来的。
阿勒·哈增对光学的研究，有力地促进了现代光学的诞生。
在力学方面，阿尔·哈兹尼 （生卒年不详）作出了重要的贡献。他在公
元1137年发表的《智慧秤的故事》一文中，详细地描绘了他自己发明的带有
5个秤盘的杆秤。它既可以作为杆秤使用，也可用一个可动的秤盘在没有砝
码的情况下测量重物，还可以在水中测定物体的重量。阿尔·哈兹尼用智慧
秤测物体重量，同时使用一个带有向下倾斜的喷嘴的容器，把水灌满容器至
喷嘴口，然后把物体浸入容器，通过测量溢出的水重可以确定物体的体积。
他用这个方法确定了一些物质的密度。
阿尔·哈兹尼还发现空气也有重量，因此他把阿基米德的浮力定律从液
体推广到空气中。他�