按键盘上方向键 ← 或 → 可快速上下翻页，按键盘上的 Enter 键可回到本书目录页，按键盘上方向键 ↑ 可回到本页顶部！
————未阅读完？加入书签已便下次继续阅读！
是否具有“自然的”性质，或者只能建立在公设化的形式基础上？这里我们
已经可以在“自然数”指正整数的意义上使用“自然（的）”这个术语了；正
整数在数学上使用它们之前先已经构成，是用从日常活动里所抽出来的运算
构成的，这些运2 算，如早在原始社会里一对一的物物交换中所使用的、或
是儿童玩：要时使用的一一对应的关系，在坎托尔（Cantor）用来建立第一个
超穷基数以前，已经使用了几千年了。
人们可以惊奇地看到，儿童在发展过程中最初使用的一些运算，也就是
从他加在客体上的动作的普遍协调中直接取得的运算，正好可以分为三大范
畴，划分的标准，根据：运算的可逆性来自逆向性，象代数结构一样（在这个
儿童的特殊情况下，是分类结构和数的结构）；或运算的可逆性来自互反性，
象次序结构一样（在这个特殊情况下，是序列、序列对应关系、等等）；或者
是运算组合系统不是以近似与差别为基础，而是来自邻近性、连续性、和界
限的规律，这就组戌了一些初级的拓扑学结构（从心理发生学的观点来看：这
些结构先于矩阵结构和投影结构，与种种几何学的发展历史正好相反，但却
与理论推衍产生的顺序相符！）。＇译者按：以上一段简单说明三大范畴与儿
童思维的联系，只提了几个概念的名字，不易理解；读者可以参阅原作者在
《儿童心理学》一书里的说明，该书已有中译本（吴福元译，商务，1980）。＇
所以，这些事实似乎表明，早从智慧形成的相当原始阶段时起，布尔巴基学派研究所得的那些母结构，在如果不说原始、自然还是非常初步的，并且从理论层次上说离开这些母结构所能具有的普遍性和可能有的形式化程度还很远的形式下，就已经与智慧的功能作用的必要协调，有相对应的关系了。
其实，要证明刚才讨论的那些初始的运算在事实上来自感知一运动（级）协调本身是不会很难的，在人类的婴儿身上和在黑猩猩身上一样，这些协调的工具性动作肯定已经具有若干“结构”了。（可参见第四章）但是，在阐明从逻辑观点看来上面这些见解意味着什么之前，我们先要看到，布尔已基学派的结构主义，在一个值得指出的潮流的影响之下，正在转化演变的过程之
①
一个集合E，是由n 个成分组成。部分集合P（E）就是这些成分取1 个1 个，2 个2 个，？？等所得到的那个集合，其中包括空集合ф和集合E 本身。所以P（E）就有2n 个成分。亦译单纯形。
中。因为这个潮流的确使人看到了发现——如果不说造成——新结构的方式。这就是要创立“范畴”（麦克莱恩＇MacLane＇、艾伦贝格＇Eilenberg＇等），也就是说要创立一个有若干成分的类，其中包含这些成分所具有的各种函25数，所以这个类带有多型性（morphismes）。事实上，按照现在的词义，函数就是一个集合在另外一个集合上或在自身上的“应用”，并导致建立各种形式的同型性或“多型性”。这差不多就等于说，在强调函数时，范畴的重点不再是母结构，而是放在可以发现出结构来的、建立关系的那些程序本身上面。这就又等于把新结构不是看成从先前的各种运算已达成的各种“存在”中引出来的，而是从作为形成过程的这些运算本身里抽绎出来的。
因此，巴普特（S。 Papert）在上面所说的范畴里看到的，更多地是为真正
理解数学家的运算而努力，而不是为了理解“一元化”①数学的运算法的努力，
这不是没有道理的。这儿就是反映抽象的一个新的例子，说明这个反映抽象
法的本质，不是来自客体，而是来自加在这些客体上的那些动作（即使原先的
客体已经是这样抽象得到的一个结果），这些事实，对于结构构成的性质和方
法而言，是很宝贵的。
7。逻辑结构
初看起来，逻辑学似乎是结构的特别有利的领域，因为逻辑学是研究认识的形式，而不是研究认识的内容的。而且还进一步，当我们在（第六节已经指出的）“自然数”这个“自然”的意义上提出自然逻辑这个问题（现时逻辑学家的看法不对）时，我们很快就看到，逻辑形式处理过的内容仍然有某些形式，具有可以逻辑他的形式的方向，这些内容的形式包括了一些加工得更差的内容，但这些内容又是有某些形式的；如此依次类推，每一个成分对于比它高级的成分来说是内容，而对于比它低级的成分来说是形式。
但是，固然这些形式上的嵌套接合关系和形式与内容的相对性，对于结
构主义理论说未都是极有启发意义的，逻辑学对于这些关系和相对性的问题
却并不感觉兴趣，只是在形式化的界限问题（参看第8 节）上，才间接地有关。
符号逻辑或数理逻辑（今天唯一算得上的逻辑）是建立在这上升的形式一内容
阶梯上任意一点的，不过要有使这任意一点成为一个绝对起点的系统化的意
图；这样一个意图是合理的，因为这个意图借助于设定公理的方法是可以实
现的。事实上，只须选择一定数目的概念和一定数目的命题作为起点；把这
些概念看作是不能下定义的，意思是说，这些概念是用来为其他概念下定义
的；并且把这些命题看作是不要加以论证的（因为对于所选择的体系而言，选
择这些概念是自由的），而这些命题却是为论证服务的。不过，这些基本的概
念和公理应该是充分的，它们相互之间可以并存，并且要减少到最低限度，
就是说不是多余的＇译者按：多余，指在同一个体系里的几个部分之间有同一
成分而言＇。其次，要只用运算程序的形式给自己定出一些构造规则；于是形
式化就成为一个自给自足的体系，并不求助于外在的直觉，而且这个体系的
①
＇译者按：这里原文用的“la”mathématique 。习惯上具体说数学用复数，lesmathématiques ，哲学家也用单数。但作者这里有意用“la”以别于复数，是指经结构主义用结构联合为一个整体的数学。这一节的主旨是把数学本身的运算跟数学家的运算对立起来谈问题，说明主要的是思想方法（反映抽象），不是已经取得的成果。＇
起点在某种意义上是绝对的。不言而喻，还有一个形式化的上界问题，还有要知道那些不能下定义和不要加以论证的范围有多大，这些认识论的问题。但是，从逻辑学家所处的形式观点来看，这儿无疑就是唯一的一个在纯粹是内部调整意义上、也就是在完全自身调节作用的意义上、绝对自主的例子。
因此，从广义的观点出发，我们可以同意，每一个逻辑体系（逻辑体系是有无数个的）都能组成一个结构，因为每一个逻辑体系都具有整体性、转换性和自身调整性这三个性质。然而，一方面，这是些专门为此（ad hoc）建立起来的“结构”。而不管我们是否说出来，结构主义的真实倾向却是要达到“自然的”结构；“自然的”这个概念有点模棱两可，并且经常是名声不好的，它或者是指在人性中深深扎根的意思（有重又回到先验论上去的危险），或者相反是指有一个某种意义上独立于人性的绝对存在，它只是应该适应人性而已（这第二个意思有重又回到超经验的本质上去的危险）。
另方面，这里有一个更严重的问题：一个逻辑体系，就它所证明的定理的整体而言，就是一个封闭性的整体。但是，这只是一个相对的整体，因为对那些它不加以证明的定理而言（特别是那些不能决定真假的定理，原因是形式化有限度），这个体系的上方是开放着的；而且这个体系的下方也是开放着的，原因是作为出发点的概念和公理，包含着一个有许多未加说明的成分的世界。
后面这个问题，是我们称之为逻辑学的结构主义所特别关心的问题。因为逻辑学结构主义所明白说出来的企图，就是要找出，在被所设定的公理法定了的作为出发点的那些运算下面，可能有些什么。而我们已经找到的，乃是一个若干真正结构的整体，不但可以和数学家所使用的大结构——这些大结构使人在直觉上必须接受，与它们的形式化无关——相比拟；而且与数学家所使用的某些大结构是有同一性的，于是它又成了我们今天叫做普通代数学的这个结构理论的一部分。
特别使人感到惊奇的，是十九世纪符号逻辑学的伟大创始人之一——布
尔的逻辑学，构成了一种代数学，叫做布尔代数学。布尔代数学保证了“类”
的逻辑和传统形式下的命题逻辑的解释，而且相当于模数为2 的算术，就是
说它唯一的值是0 和1。可是，我们可以从这个代数学中引出一个“网”的
结构（参看第6 节），只要在所有网结构的共同特性上，增加一个分配性的特
性，一个包含着一个极大成分和一个极小成分的特性，还有主要的一个是互
补性的特性（这样，每个项都包含了它的逆向或否定项）：于是人们称之为“布
尔网”。
另一方面，排中选言的（或者是P 或者是q 不能兼是两者）和等价的（既是p 又是q，或者既不是p 也不是q）这两种布尔运算，二者都能组成一个群，而且这两个群之中的每一个群，都可以转换成一个交替的环①。这样，我们看到，在逻辑学上又找到了数学上通用的两个主要结构。
但是，此外我们还能抽绎出一个更普遍的群，作为克莱因四元群
（groupede quaternalite）的一个特殊情况。假定是这样一个蕴涵命题p ？ q
的运算：如果我们把这个命题改成逆命题（N），就得到p·p （这就否定了蕴
涵关系）。如果我们把p ？ q 命题的两个项对调，或者单保持原来的蕴涵关系
①
参看J。…B。 GRlZE 著《逻辑学》（Logique），第277 页，载法国版《七星百科全书》（Encyclopédiedela Pléiade）第XXII 卷，《逻辑学