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① 李俨：《明代算学书志》，见李俨《中算史论丛》（第二集），科学出版社1954 年版。② 严敦杰：《跋重新发现之〈永乐大典〉算书》，载《自然科学研究》1987 年第2 期。第二节商业数学的发展明代的商品经济相当发达，因此，明代在数学理论上虽然没有什么建树，但随着商品经济的发展，商业数学得到了较大的发展，其突出表现是在当时一些重要数学著作中出现了更多的与商业贸易有关的应用问题。吴敬《九章详注比类算法大全》（现通称《九章算法比类大全》）可说是这方面的代表作。
吴敬，字信民，浙江仁和（今杭州市）人，曾任浙江布政使司的幕府。
他对浙江的经济情况如田赋、税收、人口等非常熟悉，常协助当地财政官员进行工作。吴敬于景泰元年（1450）写成《九章算法比类大全》这部数学杰作。全书分十卷，共一千三百二十九个应用题。第一卷前另有“首卷”，称为“乘除开方起例”，主要介绍大数记法、小数记法、度量衡的单位、乘除算法中用字的解释、整数四则运算和分数四则运算等，并给出一百九十四个应用问题的解法。第一卷至第九卷按《九章算术》分类法分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈朒和勾股。各卷内容都是对该类应用问题的解法，其中最初几个问题主要引自杨辉《详解九章算法》、刘徽《海岛算经》、王孝通《缉古算经》等，称为“古问”。而结合当时社会情况的应用问题，则称为“比类”。此外还有用诗词形式表达的应用问题。第十卷专论“各色开方”，包括开平方，开立方，开高次方，开带从平方和开带从立方等。吴敬在该书“比类”中收集的许多题目，是与当时人们生产和生活实践特别是与商业贸易有关的应用问题。这是商品经济发展在数学中的反映。十五世纪中，欧洲南部各城市的商品经济也很发达，商业数学也有相应的发展。在吴敬《九章算法比类大全》写成后二十八年，意大利出现了一部相类似的著作《脱雷维沙算术》（Treviso 为威尼斯附近的一个地名）。其中有不少相当于吴敬书中的问题和解法，如“异乘同除”、“就地抽分”、“合伙经营”、“互换乘除”等。这说明在资本主义发展的萌芽时期，商品经济反映到数学上，东西方有类似的步伐①。吴敬这部著作的体例和内容，对程大位《算法统宗》等后世数学著作有较大的影响。
另外值得一提的是王文素的《算学宝鉴》。王文素，字尚彬，山西汾城人。他以三十余年之功，于嘉靖三年（1524）写成《算学宝鉴》一书，书名全称《新集通证古今算学宝鉴》。全书共四十一卷。这是继吴敬《九章算法比类大全》之后又一部商业数学巨著。书中介绍了珠算，也运用了筹算，包含有结合社会需要的各种应用问题，内容相当丰富。但可惜的是迄今不知这部著作是否有刊本行世。现较易见到的是北京图书馆藏抄本的影印本②。① 钱宝琮：《中国数学史》，科学出版社1964 年版，第134—136 页。
② 见郭书春主编：《中国科学技术典籍通汇·数学卷（二）》，河南教育出版1993 年版。第三节珠算术的发展据现有资料推测，珠算大约发明于元中叶之前不太久的时间，而在元代关于珠算仅有一些零星的记载。珠算发明之后，随着商品经济的发达和算法的简化，在明代逐渐得到广泛应用，并且最终完全取代了筹算。明初刊刻的《对相四言杂字》是一部看图识字的启蒙著作。书中绘有算盘图，也绘有算筹图，说明珠算术发展很快，珠算盘在明初即已推广，成为应该与算筹同时掌握的计算工具。明中期以前的一些数学专著，如吴敬《九章算法比类大全》和王文素《算学宝鉴》等，也都明确提到珠算盘，并记载了一些只在珠算中才能有的口诀。如“破五诀”说：“无一去五下还四”，“无二去五下还三”一或两根算筹就行了，用不着“下还四”，“下还三”，因此“破五诀”应是珠算口诀。但这两部书又主要是介绍筹算方法的著作。这种情况表明，直到明代中期，在实际生活中还是筹算和珠算同时并用的。
明代算盘的式样与规格，在十五世纪中期的《鲁班木经》里有明确的记载：“算盘式：一尺二寸长，四寸二分大。框六分厚，九分大，起碗底。线上二子，一寸一分；线下五子，三寸一分。长短大小，看子而做。”这种算盘的上下算珠之间还没有横梁，只用一条绳线隔开。徐心鲁《盘珠算法》（1573）中的九档算盘图，上有一珠，下有五珠，中间有木梁，与日本的算盘相同。日本算盘是来源于这种算盘还是独立创制的，还有待于深入的研究。柯尚迁《数学通轨》（1578）中所绘算盘图，称为“初定算盘图式”，有十三档，上二珠，下五珠，中间用木制的横梁隔开，已与现在通用的算盘相同。中国算盘的形制可能在这时已经基本定型了。
珠算的四则运算方法基本来自筹算，但也有所不同。如筹算中没有加法和减法的口诀，而加减法口诀则是珠算术的重要组成部分。在明代的珠算著作中，加法口诀称为“上法诀”，如“一，上一；一，下五除四；一，退九进一十”等等，减法口诀称为“退法诀”，如“一，退一；一，退十还九；一，上四退五”等等。为提高运算速度，这些口诀对于珠算术是必要的，而筹算术则无此必要。珠算术的乘法口诀（九九口诀）和除法口诀（九归口诀）等，与元代的筹算术完全相同。此外，明代珠算术中有一归口诀，如“见一无除作九一，起一下还一”等，这种除法口诀是筹算术所没有的。
明朝人撰写的珠算书为数不少，但流传下来的不多。现在有传本的有徐心鲁《盘珠算法》（1573）、柯尚迁《数学通轨》（1578）、朱载堉《算学新说》（1584）、程大位《直指算法统宗》（1592）和黄龙吟《算法指南》（1604）等。其中以程大位的《算法统宗》流传最广，影响也最大。
程大位（1533—1606），字汝思，号宾渠，安徽休宁（今黄山市）人。
少年时代就很喜欢数学，二十岁以后一面在长江中下游地区经商，一面研究数学问题，同时向知算者请教问难，并广泛收集古代与当代的数学著作。四十岁左右回到家乡专心致力于数学研究。1592 年，在他六十岁的时候写成《算法统宗》17 卷。后来他又将该书删繁就简编成《算法纂要》4 卷（1598）。《算法统宗》，全称是《新编直指算法统宗》。书中详细介绍了珠算盘的定位方法、加减乘除口诀和其他简算口诀。这些口诀已相当完善，至今还在继续使用。全书595 个应用题，全部用珠算盘演算，并且还设计了用珠算开平方和开立方的方法（朱载堉在此前后也提出了珠算开方法）。万历时张居正推行一条鞭法，在全国范围内清丈土地。《算法统宗》卷三“方田”中记有程大位专门为此创制的“丈量步车”，并绘有图。这种“丈量步车”是用竹篾制成的，可以卷绳，类似于现在测量用的卷尺，用以丈量土地。《算法统宗》出版之后，很快“风行宇内”，凡学习计算的人士，“莫不家藏一编”①，一直到清末还在出版这部著作的各种翻刻本和改编本。明末李之藻编译《同文算指》，还从《算法统宗》中摘录了不少应用问题，以补充西洋算法的不足。
《算法统宗》的编著和流传是从筹算到珠算这一转变完成的标志。从此，这种携带方便、使用方法简便的珠算盘，成为主要的计算工具，一直到现在还在我国人民中间广泛地应用着，充分显示了适应社会需要的创造发明的强大生命力。不仅如此，珠算盘和有关著作还流传到朝鲜、日本等亚洲国家，并且受到了这些国家的欢迎。古希腊、罗马和俄国也曾有过算盘，它们的形制与中国算盘不同，并且由于使用不便而都被淘汰了，其作用和影响是根本不能与中国算盘相比的。
① 程大位：《直指算法统宗》程世绥序。
第四节西方数学的引进十六世纪末，天主教耶稣会传教士作为西方殖民国家的先遣队，开始到中国来进行活动。最早到中国内地的是意大利传教士利玛窦（1552—1610），他是德国数学家克拉维斯（明代学者称其为丁先生，C。Clavius，1537—1612）的学生。明朝末年，由于改革历法的需要，又陆续聘请一些通晓天文数学的西方传教士来历局工作，其中有罗雅各（Jacqaes Rho，1590—1638，意大利人）、邓玉函（Jean Terrenz，1576—1630，瑞士人）、汤若望（JeanAdam Schallvon Bell，1591—1666，德国人）等。这些人的主要活动当然是进行宗教宣传，但是，为了“巩固地位”、“增进自由”和使教会获得“极大的利益”，他们也介绍了西方的一些天文、数学、地理、制造枪炮等科学技术知识。在数学方面，这时传入的有欧氏几何、平面和球面三角学、圆锥曲线、笔算方法和一些计算工具等。西方的这些数学知识为濒于衰废的明代数学增添了新的内容，引起当时中国数学家学习和研究的兴趣，并且做出相当大的成绩，朝着中、西数学融合的方向迈出了重要的一步。
欧氏几何这一时期最早译成中文的西方数学著作是利玛窦与徐光启合译的欧几里得《几何原本》前六卷，内容为平面几何学。所用翻译底本为克拉维斯注释的《原本》十五卷拉丁文本，但仅译出原著，未译克拉维斯的注释和其他研究者的成果。在稍后编撰的《崇祯历书》等著作中，又介绍了《原本》后九卷及《原本》以外的属于欧氏几何体系的部分内容，如正多边形，多面体等。欧氏几何传入后，其丰富新颖的内容及其严谨的逻辑