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假设你对一个小孩子说〃狮子是存在的，但麒麟并不存在〃，你可以把他带到动物园里去，跟他说〃瞧，这就是狮子〃；从而证明你那与狮子有关的论点。可是除非你是一个哲学家，否则你一定不会补充说：〃现在你可以看到，那是存在的了〃。但如果你是一个哲学家并且真的补充说了这一点，那你就是在说着毫无意义的话了。说〃狮子存在〃就是说〃有狮子〃，也就是说〃对于一个合适的x来说，'x是狮子'是真的。〃但是我们却不能谈论一个合适的x，说它〃存在〃；我们只能把这个动词应用于一种完全的或不完全的描述。〃狮子〃是一个不完全的描述，因为它可以应用于许多的客体：〃这个动物园里的最大的狮子〃则是完全的描述，因为它只能应用于一个客体。
现在假设我正在注视着一片鲜红。我可以说〃这是我现在的知觉〃，我也可以说〃我现在的知觉存在〃；但是我一定不能说：〃这存在〃，因为〃存在〃这个字只有在用之于与一个名字相对立的一种描述时，才是有意义的。①这就把存在处理成是心灵在客体里所察觉到的事物之一。
现在我就来谈对于数的理解。这里要加以考虑的是两种非常不同的东西：一方面是算学的命题，另一方面是计数上的经验命题。〃2＋2＝4〃属于前一种；〃我有十个指头〃则属于后一种。
我应该同意柏拉图的说法，即算学以及一般的纯粹数学并不是从知觉得来的。纯粹数学包含着有类于〃人是人〃那样的同义反复，但通常只不过是更为复杂罢了。要知道一个数学命题是否正确，我们并不需要研究世界，而只需研究符号的意义；而符号，当我们省略掉定义之后（其目的只是为了简化），就只不过是〃或者〃与〃不是〃以及〃一切〃与〃某些〃等等之类的字，而这些字并不象〃苏格拉底〃，它们并不指示现实世界中的任何事物。一个数学方程式肯定两组符号有着同一的意义；只要我们使自己限于纯粹数学的范围之内，这种意义就必定是一种无需我们知道任何能被知觉的事物便可以加以理解的意义。因此，数学的真理，正象柏拉图所说，乃是与知觉无关的；它是非常奇特的一种真理，并且仅只涉及符号。
计数的命题，例如〃我有十个指头〃，就完全是属于另一种范畴了，并且显然是（至少一部分是）要依靠知觉的。〃指头〃的概念很明显地是从知觉中抽象出来的；但是〃十〃这个概念又是怎样的呢？这里我们似乎达到了真正的共相，或者柏拉图的理念。我们不能说〃十〃是从知觉之中抽象出来的，因为凡是可以看成是十个的有关某种事物的任何知觉，也都可以同样地看成是别的数目。假使我是用〃指〃这个名字来称整个一只手的全部手指头；那末我就可以说〃我有两个指〃，而这也就描述了我此前用十这个数字所描述的同一个知觉事实。这样，在〃我有十个指头〃这一陈述里比起在〃这是红的〃这样的一种陈述里来，知觉就占有更少的地位，而概念则占有更多的地位。然而这个问题只是程度的不同。关于有〃十〃这个字出现的命题，我们完全的答案是：当我们把这些命题加以正确分析的时候，我们就可以发见它们并没有包含任何成份是与〃十〃这个字相当的。要以十这样大的数目的例子来解说这一点是比较复杂的；因此，不妨让我们代之以〃我有两只手〃。这就意味着：
〃有一个a于是便有一个b，而a与b并不是同一个。当，并且唯有当，x是a或者x是b的时候，'x是我的一只手'才是真的，无论x可能是什么〃。
在这里〃两〃这个字并没有出现。的确a和b，这两个字出现过，但是我们并不需要知。道。它们是两个，就正象我们并不需要知道它们是黑的还是白的，或者可能具有任何别的颜色一样。
因而，数在某种严格的意义上来说，便是形。式。的。。足以证明那些断言有各种各样的组合各有两个成份的各种不同命题的种种事实，其共同之点并不是一种组成部分而仅仅是一种形式。在这一点上，它们和那些有关自由神象、或者月亮、或者乔治·华盛顿的命题是不同的。那些命题都涉及到时－空的一个特殊部分，在所有的关于自由神象所能作的各种陈述之中这一点都是共同的。但是在〃有两个某某〃的这类命题之间，则除了一个共同的形式之外，便再没有任何共同的东西了。〃两〃这个符号对于一个有这个符号出现的命题的意义的关系，就要比〃红〃这个符号对于一个有红字出现的命题的意义的关系远为复杂得多。在某种意义上，我们可以说〃两〃这个符号并不意味任何事物；因为当它在一个真语句里出现的时候，这个语句的意义里面并没有一个与之相当的组成部分。如果我们愿意的话，我们还可以说数是永恒的、不变的等等，但是我们必须补充说，它们都是逻辑的虚构。另外还有一点。关于声音与颜色，柏拉图说〃二者一起就是两，其中每个就是一〃。我们已经考察过了两。；现在我们就来考察一。这里面也有着一种谬误，非常有似于关于存在的那种谬误。〃一〃这个谓语并不能应用于事物，而只能应用于单一的类。我们可以说〃地球有一个卫星〃；但是如果说〃月亮是一〃，那便是一种语法上的错误了。因为这样一种论断能意味着什么呢？你也可以同样地说〃月亮是多〃，因为月亮有许多的部分。〃地球有一个卫星〃的这种说法乃是赋给〃地球的卫星〃这一概念以一种性质，即下列的这种性质：〃有这样的一个c；当，并且唯有当，x是c的时候，'x是地球的卫星'便是真的〃。
这是一个天文学上的真理；但是如果你用〃月亮〃或任何其他的专名词来代替〃地球的卫星〃的话，那末期结果若不是毫无意义，便仅仅是同义反复了。因此〃一〃就是某些概念的一种性质，正如〃十〃是〃我的指头〃这一概念的一种性质一样。但如果要是论证〃地球有一个卫星，即月亮，因此月亮是一〃，那就要和论证〃使徒是十二，彼得是使徒；所以彼得是十二〃是一样地糟糕了；但若是我们以〃白〃来代替〃十二〃的话，这种论证就会是有效的。
以上的考察就表明了，尽管有一种形式的知识，亦即逻辑与数学，并不是得自于知觉的；但柏拉图关于其他一切知识的论证却都是谬误的。当然，这并不证明他的结论都是假的；它仅仅证明柏拉图并没有提出有效的理由来假定他的结论是真的。
（2）我现在就来谈普罗泰戈拉的论点，即人是万物的尺度，或者——按照人们所解释的那样——每个人都是万物的尺度。这里最根本之点就是，我们必须决定讨论是在哪个层次上进行的。很显然的，首先我们必须区别开知觉与推论。在知觉方面，一个人不可避免地只是限于他自身的知觉；凡是他所知道的别人的知觉，他都是由他自身的视与听的知觉里面推论而知道的。做梦的人和疯人的知觉，作。为。知觉来说，也正象别人的知觉是一样的；对于它们的唯一反驳就是，因为它们的前后联系异乎寻常，所以它们很容易造成谬误的推论。但是推论又是怎样的呢？它们也同样地是个人的与私有的吗？在某种意义上，我们必须承认它们也是的。凡是我所相信的东西，必定是由于有某种能够使我相信的原因。的确，我的原因可以是另一个人的论断，并且它还可以是完全正当的原因，——例如我是一个法官在听取证辞。可是无论我可能是怎样的普罗泰戈拉的信徒，但对于某一套形象我宁愿接受某个叙述者的意见而不用我自己的意见，这总归是合理的事；因为我将会一再重复地发见，如果我起初不同意他的话，只要肯细心一点就可以证明他是对的。在这种意义上，我可以承认另一个人比我更有智慧。普罗泰戈拉的论点，如果加以正当的解释，并不包含着一种见解说我永远不犯错误，而只是说我错误的证据必须向我呈现出来。对我过去的自己也可以加以判断，正如对别人可以加以判断一样。但是这一切都要预先假定，作为与知觉相对立的推论是有着某种非个人的正确与否的标准的。假如我所作的任何一个推论都正象任何另一个推论是一样地好，那末柏拉图从普罗泰戈拉那里所推演出来的知识的无政府状态，事实上就确乎要出现了。因此在这个重要之点上，柏拉图似乎是对的。但是经验主义者却要说，知觉才是检验推论中经验材料正确与否的试金石。
（3）普遍流变的学说是经柏拉图所歪曲过的，我们很难想象曾有任何别人主张过柏拉图所赋给它的那种极端的形式。例如，让我们假设，我们所看到的颜色是在不断地变化着。〃红〃这样一个字可以应用于许多片颜色；但是如果我们说〃我看见了红〃，我们并没有理由认为在我们说这话的整个那段时间内，这话就应该不是真的。柏拉图是把见与不见、知与不知这样的一些逻辑的对立应用于不断变化的过程，而得到他的结果的。可是这些对立却并不适用于描述这一类的过程。假设在一个大雾弥漫的日子里，你注视着一个人从你的身边沿着大路走下去：他变得越来越模糊，终于到了一个时候你可以确定你是看不见他了，但是期间却还有一段疑惑不定的中间时期。逻辑的对立乃是为了我们的方便而被创造出来的，但是不断的变化却需要有一种计量的工具，而柏拉图却忽略了这种可能性。因此他关于这个题目所说的话，大部分就都是文不对题。
与此同时，我们必须承认除非文字在某种限度内具有确定的意义，否则讨论就会是不可能的。然而在这里，我们也很容易过分地绝对化。文字的意义的确是变化着的，我们不妨以〃理念〃这个字为例。只有受了相当的教育之后，我们才学会赋给这个字以某种有如柏拉图所赋给它的意义。文字意义的变化应该落后于文字所描述的变化，这是必要的；但是要�