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在牛顿与拉瓦锡所奠定的基础上，物理学与化学建立起一座不断发展与和谐一致的大厦。这个成就使人们感觉总的路线已经一劳永逸地规划好了，此后不会再有什么惊人的新发现了，剩下来的工作不过是把科学的度量弄得更加精密，把几个明显的空隙加以填补罢了。事实上，这就是十九世纪末革命性发展前夕以前人们的信念。
数学
在十九世纪里，出现了许多数学的新科目。其中我们必须提到数论、形论与群论，三角学发展成为多重周期的函数理论，以及一般的函数论。综合与分析的方法创造出一种新的几何学，而许多这样的方法被应用到物理学问题上去，这可能就是后来引导物理科学大踏步前进的推动力中最大的推动力。
数学史的细节不在本书范围之内，这里只想谈谈对物理学主要部门具有特别重要性的几个数学分支的轮廓。
傅立叶（Fourier）在1822年出版的讨论热传导理论的《热的分析理论》一书里，证明一个变数的函数，无论是否连续，都可以展开为那个变数的倍数的正弦级数；这个结果后来被应用到珀松（Poisson）所提出的分析方法上去。高斯（Gauss）发展了拉格朗日和拉普拉斯的研究成果，并把这种成果应用到电学上去。他并且建立了量度误差的理论。
拉格朗日列出运动的微分方程式，使动力学得到极大的进步，哈密顿（William Rowan Hamilton，1805－1865年）爵士又把这个工作推进了一步。哈密顿用一个系统中的动量与坐标去表示动能，并发现怎样把拉格朗日方程式转化为一组一阶微分方程式去决定运动。他还发明了四元数。
萨卡里（Saccheri）在1733年，洛巴捷夫斯基（Lobatchewski）在1825年和1840年，高斯在1831年和1846年，波约（Bolyai）在1832年分别对欧几里得几何学所依据的一些假定进行了讨论。1854年，黎曼（Riemann）促使人们普遍注意到非欧几里得几何学，以后凯利（Cayley）、贝尔特腊米（Beltrami）、赫尔姆霍茨（Helmholtz）、克莱因（Klein），怀德海等又做了不少工作。这些作者都指出，我们可以在数学上讨论非欧几里得空间的性质，不管这样的空间是否为感官所认识这个问题有怎样的答案。到爱因斯坦建立了现代的相对性理论的时候，他们的研究才在物理学上变得很重要。
不可秤量的流体
热的强度的概念是从人们的感官知觉而来的，温度计帮助我们去测量它。阿蒙顿（Amon…tons）利用水银改进了早期的温度计，华伦海特（Fahrenheit）、列奥弥尔（Reaumur）与摄尔絮斯（Celsius）各自确立了标度。热的传播及辐射、对流和传导三者的区别，以及热量的概念，都是后来的研究课题。虽然最敏锐的自然哲学家，如牛顿、波义耳与卡文迪什等倾向于认为热是物体质点的颤动，但在还没有同我们的能量观念相当的确定概念以前，他们的意见是不能发展的。要前进一步就需要把热看做是一种可测度的量，由一物体传到另一物体时，数量仍然维持不变。在这个观念的指导下去进行实验，就需要对热的性质给予确定而适合的表述。于是就有一种学说应运而起。这一学说认为热是微妙的，既不可见而又无重量的流体，在物体的质点间极其自由地流通。
布莱克（Joseph Black，1728－1799年）澄清了把热和温度两种概念混淆起来的看法，分别称之为热的分量与强度。他从蒸馏酒厂得到启发，研究了冰融为水及水化为汽的状态变化。他发现在这些变化里大量的热被吸收，而温度却不改变。他说这些热成了“潜热”。他以为热流体或“热质”与冰结合而成水，成为“准化合物”，热质再与水化合而成汽。他的量度说明，融解一定量的冰为水所需的热量与把同量的水加热到华氏140度所需的热量相等，但真正的数字是华氏143度。他还低估了汽化的潜热，把967度F误为810度。但这种测量要十分精确是很难的。布莱克又创立了比热的理论来解释为什么使不同物质发生相同的温度变化所需的热量是不同的，后来他的学生伊尔文（Irvine）详细地测定了一些物质的比热。这样他就创立了热量测定的方法，即量热术。热质说或热的流体说一直引导科学前进，到1840至1850年间，赫尔姆霍茨与焦耳才证明热动等价，确立了热是运动的一种方式的观念。
另一类似的流体说，或者说敌对的两流体说，引导了电的现象的研究者前进。要解释由于摩擦而带电的两个物体为什么彼此相引或相斥，可以假定电是与热相似的一种物质，是一种可加减的量。但在电的早期历史中，我们清楚地认识到有两种不同而且相反的电。玻璃与丝摩擦所生的电，可被硬橡胶与毛皮摩擦所生的电中和。为了解释这些结果，流体说假设有两种性质相反的流体或者有一种流体，它在比常量多或少时，就引起带电的状态。我们现在还在使用正电、负电等适合于单流质说的许多术语，虽然我们已经知道电不是连续的流体而是微粒的结构，这是我们在后面要说明的。当人们用起电机产生出比较大量的电，再贮蓄在来顿瓶（一个内外都贴上锡箔的玻璃瓶）一类电容器中的时候，就给实验带来很大方便。格雷（Stephen Gray，1729年）、杜费伊（du Fay，1733年）与普利斯特列（Priestley，1767年）首先分清了导电体与绝缘体，这两术语则是德扎古利埃（Desaguliers，1740年）所定出的。
人们一注意到电瓶放电的火花与声响，也就马上认识到它们与雷电相似，因而也就疑心这两种现象性质一样。怎样才能证明两行性质相同呢？怎样才能使天上的雷公服从物理学定律呢？富兰克休（Benjamin Franklin，1706－1790年）对这个问题似乎入了迷。他留下的许多信札里都描绘了不少来顿瓶放电的实验，并提到天电有熔化金属、撕破物质等效应。
在带电体尖端的放电作用的启发下，达利巴德（d’Alibard）与其他法国人产生了把闪电传导下来的念头。1752年，他们在马里地方装置了一根高40呎的铁竿，要“决定带有闪电的云是否带电的问题”。当电云在竿上经过时，竿下端即发生火花。这个实验在其他国家也重复做过，而且完全成功——事实上，圣彼得堡的里曼（Riehmann）教授竟因为在屋上装置铁竿引导雷电而当场被击毙！同时富兰克林则用风筝安全地进行了同样的实验。
在风筝主杆的顶端装上一根很尖的铁丝，约比风筝的木架高出一呎余。在麻绳的下端与手接近之处系上一根丝带，丝带与麻绳连接之处可系一把钥匙。当雷雨要来的时候，把风筝放出，执绳的人必须站在门或窗内，或在什么遮蔽下，免使丝带潮湿；同时须注意不让麻绳碰到门或窗的格子。雷云一经过风筝的上空，尖的铁丝就可从雷云吸引电火，使风筝和整根麻绳带电，麻绳另一端的纤维都向四周张开，若将手指接近，就会被其吸引。当风筝与麻绳都被雨湿，而能自由传导电火时，你若将手指接近，便会看见大量的电由钥匙流出。从这把钥匙那里可以给小瓶蓄电；由此得来的电火可使酒精燃烧，并用来进行别的有关电的实验；而这些实验平常是靠摩擦小球或小管来做的，这样就完全证明这种电的物质和天空的闪电是同样的。
十八世纪时，人们进行了许多次加热于电气石等矿石与晶体而生电的实验，而且电鳗一类电鱼能给人以麻痹性打击的现象，也再度引起人们的注意。有人考察了它们的电器官，弄清它们给予人的打击的确是由于电的现象所致。
电力和磁力的研究开始于十八世纪末年。米歇尔和法国军事工程师库仑（Coulomb）先后在1750年左右和1784年发明了所谓扭秤，即一条轻的水平铁片，在中点上系上一根长铁丝，挂在一个玻璃匣内。库仑把一个带电的球放在铁片的一端，再拿一个带电的球与它接近，这铁片即会扭转。他又拿一块磁铁换替铁片，再用另一磁铁和它接近也可使磁铁的一极扭转。他用这个方法发现电力和磁力都随着距离平方的增加而减少，证明这些力量和牛顿证明的引力有同样的关系。他还发现电力与电荷量成正比，因而可以用电力来量度电荷。这个有关电力的定律还先后由普利斯特列和卡文迪什用另外的方法发现过。他们用实验证明任何形状的闭合带电导体里面都没有电力，所以球体内也没有电。牛顿过去用数学方法证明，如果平方反比的定律有效，一个由具有引力的物质构成的均匀球壳对于其内部的一个物体没有力的作用，而且任何别的力的定律都不会有这个结果；同样的研究也适用于电力。
力的定律既然成立，数学家就把静电学的课题拿过去，导出一系列周密的关系，在可以与观察结果比较的情况下，都证明与观察结果完全符合。导体表面电荷的分布，导体附近的电力与电位，导体与绝缘体的各种排列的电容量等，在高斯、珀松与格林的巧妙的手中，都证明可以用数学方法处理。
电是一种无重量、不可压缩的流体的学说和电是一个确定的量的观念是一致的，虽然在研究上并不是必不可少的，事实上却提出一个便于说明和研究这些现象的方便的画面。
更有历史意义的是人们的注意转向电力。与引力相同，电似乎也越过空间而作用于远处。数学家看来这不需要进一步的解释，但物理学家很快就开始推测这个空间的性质。因为这个空间竟然能传播两种表面上不同�