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十三
从古典数字与西方数字的这一根本对立中，产生出了一个同样根本的区别，那就是要素间的关系在这两个数字世界中的区别。在古典数学中，数量之间的联系被称作比例；在西方数学中，关系之间的联系全包含在函数的观点中。“比例”和“函数”这两个词的意义不只局限于数学；它们在雕塑和音乐这两个相关的艺术领域也极为重要。除了在单体雕像各部分的安排中，比例占有很重要的地位之外，雕像、浮雕、壁画等典型的古典艺术形式，都有尺度的扩大与缩小——而在音乐中，这些词便毫无意义——正如我们在钻石艺术中所看到的，在那里，主题本质上是原石料按比例的缩小。相反，在函数的领域，具有决定性的重要意义的，乃是群的转换（transformation of groups），而音乐家也乐于承认，同样的观念在现代作曲理论中也具有本质的地位。我只需提及18世纪最美妙的一种管弦乐形式——变奏曲，便足可证明这一点。
所有的比例，都是基于各要素的不变性，而所有的转换，都是基于各要素的可变性。例如，比较一下对称定理的不同证明：欧几里得对它的证明事实上有赖于一个事先假定的1：1的比率，而近代数学是通过角函数来演绎出相同的定理。
十四
古典数学整个地是一种构成（construction）（广义上说，它包括初等算术），也就说，是某个单一的、在视觉上在场的图形的生产。在这一可称作第二雕刻的艺术中，圆规就是它的凿子。而另一方面，在函数研究中，对象不是以体量大小表现出来的结果，而是对一般的形式可能性的讨论，其工作方式可最好地描述为是一种与音乐十分类似的作曲程序；并且事实上，有许许多多的观念与音乐理论（例如音调、乐句、音阶等）是交汇的，这些观念皆可直接运用于物理学，至少可以证明，有许多关系通过这种运用可以得到说明。
每一个构成，都是一种断言，每一次运算，都是对表象的一种否定，因为前者所获得的结果，在视觉上是给定的，后者所获得的结果，则是对表象的解决。也是因此，我们还会遇到这两种数学之间的另一个差别；研究小的事物的古典数学，处理的是具体的个例，产生的是一个一劳永逸的构成，而研究无穷的数学，处理的是全部种类的形式可能性，是函数、运算、方程式、曲线的群，并且所着眼的不是这些东西最终达致的任何结果，而是它们的进程。就这样，在最近的两个世纪里——尽管现今的数学家几乎没有意识到这一事实——逐渐地产生了数学运算的一般形态学的观念，我们在总体地论及近代数学的实际意义时，便可以证明这一点。所有这一切，正如我们将越来越明确地感觉到的，都是西方才智所固有的一般倾向的一种体现，这种倾向是浮士德精神和浮士德文化所固有的，在其他的精神和文化中是看不到的。我们的数学有为数众多的难题，这些难题常常被视作是“我们的”难题，如同如何把圆周化成正方形是希腊人的难题一样，——例如，无穷级数中的收敛（convergence）问题（柯西），把椭圆积分和代数积分转换成双周期的函数的问题［阿贝尔（Abel）、高斯］，这些问题，在追求简单、明确的定量结果的古代人看来，也许不过是相当艰深的高超技巧的一次展示罢了。其实，甚至今天的大众在心里也是这么认为的。根本就没有什么“大众”的近代数学，尽管它也包括有无穷远即距离的象征主义。所有伟大的西方作品，从《神曲》到《帕西伐尔》，都是非大众的，而古典的一切，从荷马史诗到帕加马（Pergamum）的祭坛，都是极其大众化的。
十五
因此，最后，西方数字思想的全部内涵，都集中到了浮士德式的数学中那个具有历史意义的“极限问题”（limit…problem）上了，这个问题是通向无穷的关键，而浮士德式的无穷，与阿拉伯人和印度人的世界观中的无穷是完全不同的。无论数字在特定情形中以什么样的伪装显现出来——无穷级数也好，曲线或函数也好，其真正的本质，都是极限的理论。这一极限，与古典的求圆面积的问题中所标示出来的（尽管没有这样称呼）极限，是绝对相反的。一直到18世纪，欧几里得几何中的流行的先入之见仍在混淆着当时的微分原理的真正意义。无穷小量的观念，可以说是唾手可得，可是，无论数学家们的处理有多么的娴熟，无穷小量的概念仍残留有古典常量的痕迹，仍有着数量大小的外貌，尽管欧几里得根本就不知道这个概念，也根本不承认无穷小量的存在。因此，零是一个常量，是从＋1到…1的线性连续体中的一个整数；可是，在欧拉的分析研究中，它却是一个绝大的难题。和他之后的许多人一样，欧拉要处理的是零的微分。只是到了19世纪，古典的数字感的这种遗迹才最终被消除，经由柯西对极限观念的明确阐述，微积分才获得了逻辑上的保障；只有当人们迈出理智的一步，从“无穷小量”转向“任何可能的确定量的最低极限”时，才产生出了在任何非零的可指定数的下面摆动的变数的概念。这种变数，已不再具有任何量的特征：就这样，最终由理论所表达出的极限，不再是对某一数值的趋近，而是其本身就是趋近，就是过程，就是运算。所以，极限不是一种状态，而是一种关系。并且因此，在我们的数学的这一决定性的难题中，我们突然间看到，西方心灵的构成是多么的具有历史性。
十六
把几何学从视觉的范畴中解放出来，把代数从量的观点中解放出来，然后在函数论的伟大结构中把两者结合在一起，超越图形与计算的所有基本局限——这便是西方数字思想的伟大进程。古典数学的常数消融于变数中。几何学成为解析性的，被消解了所有具体的形式；抽象的空间关系取代了数学的实体——严密的几何值便是从它那里获得的——这种空间关系到最后根本不能运用于感觉的、当下的现象中。至于欧几里得的视觉图形，亦被坐标系中任意选定的一个“原点”的几何轨迹所取代；几何客体的被假定的存在之客观性，亦被还原为一种条件，即在运算过程中（运算本身便是列等式的过程，而不是度量的过程），所选定的坐标系不应被改变。而这些坐标本身可直接视为是纯粹而简单的数值，其作用不是去决定，而是去代表或取代点作为空间元素的位置。数字作为既成之物的边界，不再像以前是历史地由一个图形来代表，而是由一个方程式来象征地代表。“几何学”的意义改变了；坐标系作为图象化的过程消失不见了，点成了一个完全抽象的数群。在建筑中，我们发现从文艺复兴到巴罗克的这一内在的转变，是通过米开朗基罗和维尼奥拉（Vignola）的创新完成的。视觉上纯粹的线条，在宫殿和教堂的立面上如同在数学中一样，变得无效了。取代我们在罗马…佛罗伦萨的柱廊和楼层中看到的明确的坐标，“无穷小”出现在优雅地流动的元素中，出现