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洲，提出同类问题要晚一千多年，直到十六世纪才有了加减消元法。在这一章中还引入了负数概念，并给出了正负数加减运算法则：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”负数的出现，反映出对意义相反数量的正确理解，从而实现了数的范围的一次新扩充。这一项杰出创造，也是以中国为最早。印度于七世纪引进负数概念。欧洲十二世纪对负数有所认识，而直到十六世纪才有比较深刻的理解，这一点甚至影响到线性方程组的求解问题。勾股章主要内容是勾股定理的应用和简单测量问题。其中包括勾股容方和勾股容圆问题，以及二次方程x2＋ax＝b（a＞0，b＞0）的解法。关于勾股数的原术及刘徽注中的有关公式，是对整数论的重要贡献，也是世界数学史上整数勾股数研究的较早成果之一。《九章算术》及其中一些问题曾经传到日本、朝鲜、越南、印度、阿拉伯和欧洲，对世界古代数学发展产生了相当大的影响。《九章算术》已被译成英、俄、德、日等多种文字。
《九章算术》对中国古代数学的总结及其对后来的影响《九章算术》系统地总结了西周至秦汉时期我国数学的重大成就，是中国古代数学体系形成的显著标志。它的丰富多采的内容，大多来自生产和生活实践，集中反映了我国古代高度发展的数学水平，以及理论密切联系实际和以算法为核心的突出特点，并对后世数学发展起了十分重要的作用。《九章算术》对中国数学的影响，正像欧几里得《几何原本》对西方数学的影响一样，是非常深刻的。中国历史上著名数学家如刘徽、祖冲之、李淳风、贾宪等，都曾经深入研究和注释过《九章算术》，并通过这种形式提出许多新概念和新方法，为推动中国数学发展作出了重大贡献。《九章算术》是中国古代数学流传最久，影响最大的一部代表作，也是历代进行数学教育的课本之一。唐代国子监算学馆规定十部数学著作作为学生的数学教科书，后代称为“算经十书”，《九章》就是其中的一部。
第五节数学与天文学在中国古代，天、算、农、医是成就卓著的四大学科，其中天文学和数学的关系尤为密切。天文历法的进步促进了数学的发展，而数学的发展也为天文历法提供了有力的工具。前面提到的《周髀算经》是一部天文学著作，其中也包含了勾股定理、勾股测量、开平方和分数运算等数学方面的成就。东汉晚期的天文学家刘洪在《乾象历》中用“强”、“弱”来表示某数的过剩近似值和不足近似值。他的“强弱”概念与“正负”概念是相通的，并且明确指出：“强正弱负，强弱相并，同名相除，异名相消；其相减也，同名相消，异名相从；无对互之。”这与《九章算术》中的正负数加减运算法则完全一致。刘洪为解决由于月球绕地球运行不等速运动问题，提出了一次内插法。根据这种方法，通过某日某时前后的两个实际观测值，可以比较精确地推算月球在该日该时的实际位置。一次内插法实质上就是盈不足术，它使历法精度有所提高，并为研究二次和高次内插法、不等间距内插法，提供了新方向，后世在这一领域获得了很大的进展。在西方，古希腊天文学家采用几何方法解决这一问题，相当繁琐，远不如中国的代数方法简捷明确。此外，由于汉代历法中出现了推算上元积年的需要，因此也产生了求解一次同余式或简单不定方程的问题，后世在这一领域也取得了极其突出的成就。
第六节数学家秦汉时期曾涌现出一批数学家和有很高数学造诣的人。如许商、杜忠在当时都有数学专著行世。据文献记载，汉北平侯张苍（？—前125）、大司农耿寿昌，皆以善算名世，他们都做过修订数学著作的工作①。刘歆（？—23）“数术、方技，无所不究”②，著有《三统历谱》等。著名天文学家张衡（78—139）“善机巧，尤致力阴阳、天文、历算”③，著有《灵宪》、《算■论》。他所用的圆周率相当于π＝ 10 ≈3。16，优于古圆周率π＝3，是对这一课题较早的研究和改进。刘洪“善算，当世无偶”④，曾创制《乾象历》，有的文献还记载他著有《九章算术》⑤。马续“善《九章算术》”⑥。郑玄（127—200）“少学书数，八九岁能下算乘除。年二十一，博极群书，兼精算术”⑦，曾注释多种重要典籍。蔡邕（133—192），好辞章、数术、天文，“先治律历，以筹算为本，天文为验”⑧。他已知道圆周率π＞258＝3。125，比古率有所改进。徐岳“素习《九章》，能为计数”⑨。据载，著有《九章算术》、《算经要用百法》、《大衍算术注》、《数术记遗》等，实际上很可能是他对《九章算术》作过注释。另外，《数术记遗》一书现有传本，但也有人认为是伪托之作。以上这些人都是中国数学史上较早见于史籍记载的数学家和擅长数学的学者，遗憾的是由于史料缺乏，现尚难以对他们的数学成就做出详细的论述。
① 刘徽《九章算术注》原序，钱宝琮校点本《算经十书》上册，中华书局1963 年版。② 《汉书·律历志》、《艺文志》、《楚元王传》。
③ 《后汉书·张衡传》。
④ 《后汉书·律历志》。
⑤ 唐释慧琳：《大藏经音义》卷六。
⑥ 《后汉书·马援传》。
⑦ 刘孝标：《世说新语》“文学”第四引《高士传》。
⑧ 《后汉书·蔡邕传》，《四部丛刊》影明刊本《蔡中郎集·上汉书十志疏》。⑨ 李昉：《太平御览》卷七五四。
第四十四章天文学第一节历法从太初历到乾象历秦汉时期天文学得到了长足的发展，初步形成了我国的传统天文学体系。其中尤为突出的是独具特色的历法体系的形成。秦统一中国，推行“车同轨，书同文字”。又在全国统一施行颛顼历，以建亥之月（十月）为岁首，年终置闰。汉承秦制，仍用颛顼历，但到汉武帝时，颛顼历渐与实际天象不符，把闰月总是放在闰九月也不能适应农业生产对掌握季节的需要，司马迁等人提议改历。武帝于太初元年（公元前104 年）下令从全国征募二十余人“议造汉历”。经过实测和推算，共提出了十八种方案，最后确定了邓平提出的81 分法，即每月有294381天，每年有■ 3653851589天，19 年有7 个闰月。
新历在太初元年颁行，是为太初历。太初历的原文虽然失传，但西汉末年刘歆按太初历改编的三统历却完整地保存下来，成为现今能见到的最古老的一部完整的历法。它不仅包括根据日月运动推算朔望、24 节气，安排历日的方法，还有推算日月食，预告行星位置等内容，这确立了我国古历的基本框架。制定历法必先造仪器，搞天象观测，按实测来确定数据和检验历法疏密，这一原则在制定太初历前后得到了充分的体现，也对后世产生了深远的影响。中国古历采用阴阳合历，即以太阳的运动周期作为年，以月亮圆缺周期作为月，以闰月来协调年和月的关系。由太阳运动而确立的24 节气反映了一年四季的变化，与农牧业生产密切相关，在汉初的《淮南子·天文训》中首次出现了完整的24 节气名称，与现今通行的名称一致。24 节气是相间的12个中气和12 个节气的总称。太初历首次确定以中气所在决定月的名称，如雨水所在月为一月，春分所在月为二月，。。冬至所在月为十一月，等等。而无中气的月无名称，只能称为前一个月的闰月，这一原则称无中气置闰。它合理地调整了年和月的关系，使季节与月份大体稳定，从太初历开始一直延用到现在。
东汉早期发现了月亮的视运动不均匀，即月亮每天的行度不一样，而且知道了月行最快的地方每月朝前移三度。刘洪在乾象历（公元206 年）里首次把月亮的快慢不均匀编成表，为后世月离表和日躔表的先声。要计算某一天月亮的位置，应在平均值上再加上快慢多少的改正，又用内插法推算任何时刻的月亮位置。采用了这些数学方法，推算日月合朔和日月食发生的时刻便提高了准确程度。刘洪还发现，月道（白道）和日道（黄道）不在一个平面上，中间有六度夹角，这就造成了不是每次日月合朔都发生交食。他认为合朔时月亮离黄白交点超过十五度半就不会发生交食，这就是发生食的判断数据，即现代的食限概念，这一数据后代各历都遵用不改。
中国古历的特色从太初历到乾象历，中国古历无论在内容、形式、计算方法等方面都形成中国的特色而跟欧洲历法有了明显的不同。如欧洲古罗马公元前46 年起实行的格里高利历，时代同中国的太初历相当，年长也取用2651 4天，同战国时古六历和东汉四分历相同。但月是31 天和30 天两种，与我国的朔望月不同，它没有天文意义，与月亮运动无关。格里历为阳历，我国古历为阴阳合历。欧洲古历仅包括历日安排，大小月年年相同，而我国古历各年不同，且还包括交食、行星、节气、晷漏等内容，可以说是一种天文年历，为了编制历法而带动了整个天文学的发展。中国古历以观测为基础确定各种天文数据，而以代数学方法处理这些数据，推算天文学问题；欧洲从古希腊天文学以来一般以几何学系统立论来处理数据。我国古历以周天3651 4度的制度划分全天，度下为分，各历采用不同的进位制；欧洲以周天360°为分划，度下为分、秒，皆以六十进位。秦汉以来，由于皇权的加强，而历法又由皇家颁行，颁历权成为皇权的一部分。天文历法事业由皇室经办，逐渐形成了我国天文事业的官办性质，而民间研习天文历算逐渐受到了限制，这也与西方的情况大不相同。
第二节浑仪和浑象浑仪天文仪器系统也在秦汉