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用分析、几何和代数的方法发展了特征函数与特征值理论。他将函数空间中
的函数按正交基坐标化为数列，提出具有平方收敛和的数列空间的概念，即
希尔伯特空间，他还发现并巧妙处理了“算子谱”理论。这些工作为泛函分
析的发展奠定了基础。这一时期，希尔伯特还证明了数论中的华林 （1734—
1798）猜想。
此后的大约10年时间，希尔伯特专注于物理领域，他成功地将积分方程
论用于空气动力学问题；研究了物质结构等理论的处理；探讨用公理化方法
来推演近代物理学问题；在广义相对论方面的工作令人瞩目，他独立于爱因
斯坦推导出了引力场方程，并为孕育统一场论的思想作出了贡献。
1918年后，希尔伯特对数学基础的研究形成了“形式主义计划”的思想，
并成为形式主义学派的创立者。按照形式主义计划，整个数学理论被表现为
仅由符号、公式和公理组成的相容的形式系统。他提出证明论（也称元数学）
作为证明形式系统相容性的途径，元数学坚持推理的有限性。希尔伯特和他
的学派，确实证明了一些简单形式系统的相容性，而且相信，他们将实现证
明算术和集合论的相容性的目标。然而，1931年，哥德尔（1906—1976）证
明用希尔伯特“元数学”证明算术公理的相容性是行不通的。尽管如此，希
尔伯特的形式主义计划仍不失其重要性，它带动了20世纪有关数学基础的研
究。
希尔伯特对20世纪数学发展影响最大的工作，乃是他在本世纪初发表的
关于23个数学问题的讲话。
（2）希尔伯特提出的23个数学问题
1900年，关于物理和数学有两个著名的讲话。
一个是19世纪物理学界的元老威廉·汤姆逊（1824—1907），即开尔文
勋爵于1900年4月27日在英国皇家学会上发表的《热和光的动力理论上空
的19世纪乌云》的演讲。这个演讲的主要基调是，充分肯定19世纪物理学
的成就，认为物理学大厦已经建成，余下的只是修修补补的事情了。这个讲
话之所以著名，原因有两点。原因之一是研究科学技术史的人们经常引用此
演讲作为科学保守派的例子，因为，就在此讲话发表之后不久，以相对论和
量子力学为标志的物理学革命便完全改变了物理学的面貌；原因之二是开尔
文勋爵能眼光锐利地指出了物理学“万里晴空”中还漂浮着的“两朵乌云”：
一是与比热和热辐射有关的理论问题，另一则是麦克尔逊—莫雷实验的“零
结果”。但他未能预料这“两朵乌云”正是即将来临的物理学革命风暴的前
兆。
另一著名演讲则是1900年8月8日，德国著名数学大师希尔伯特在巴黎
召开的国际数学家大会上，发表的“数学问题”的演说。1897年，在瑞士的
苏黎士召开的第一次国际数学家会议决定，1900年在巴黎召开第二次国际数
学家会议。1899年，希尔伯特接到了会议筹备机构的邀请，要他在会上作主
要发言。
为了准备一个与世纪交替之际相称的发言，希尔伯特前后用了8个月的
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时间，就当时数学研究的最前沿的问题进行了仔细的准备，并与闵科夫斯基、
赫尔维茨一起商量，向大会提出23个当时尚未解决的数学问题。这些问题从
最一般的基础问题开始，以变分法和数理方程等接近实用的学科中的问题结
束，涉及数学的各个具体分支。
和世纪之交的“物理学演讲”不同，希尔伯特提出的23个问题，列出在
新世纪里数学家应当努力攻克的目标，为新世纪中的数学发展揭开了充满挑
战性的、光辉的一页。这些问题在相当程度上左右和导引了20世纪数学的发
展和研究方向。
后来被称为希尔伯特问题的23个问题，引起了数学界人士的广泛注意。
20世纪最著名的数学家几乎都为解决希尔伯特问题作出过贡献。
1975年，交流、总结希尔伯特问题研究进展的国际会议，在/TITLE》美
国伊里诺斯大学召开，大会论文汇编成《由希尔伯特问题引起的数学发展》
一书。1936年至1974年，获菲尔兹奖（数学界的诺贝尔奖）的20人中，有
12人的工作与希尔伯特问题有关。以下列出希尔伯特23个数学问题，以及
有关的进展情况。
①康托的连续统基数问题。集合论的创立人康托于1878年/TITLE》作出
的“在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数”的猜测，即著名的连续
统假设。1938年，侨居美国的奥地利数学家哥德尔（1906—1976）证明了连
续统假设和集合论的ZF公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科恩证
明连续统假设和ZF公理系统是彼此独立的。因此，连续统假设的对错不能在
ZF公理系统内判明。希尔伯特第一问题在这一意义上已获解决。
②算术公理的相容性。1931年，哥德尔的“不完备性定理”指出用希尔
伯特“元数学”证明算术公理的相容性是不可能的。1936年，根茨（1909—
1945）在使用超限归纳法的条件下，证明了算术公理的相容性。
③两个等底等高四面体的体积相等的问题。1900年，即问题提出的当
年，希尔伯特的学生德恩对此问题给予了肯定解答。
④直线作为两点间最短距离的问题。希尔伯特之后，在构造与探讨各种
特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。1973年，苏联数学家波格
列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。
⑤一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的。这
一问题亦简称连续群的解析性。中间经过了冯·诺依曼（1933年对紧群情
形）、邦德里雅金（1939年对变换群情形）和歇瓦来（1941年对可解群情形）
的努力。1952年，由格利森、蒙哥马利和齐宾共同解决，得到了完全肯定的
结果。
⑥物理学的公理化。希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物
理，首先是概率论和力学。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫（1903—）实
现了概率论公理化。后来在量子力学、量子场论等方面，公理化方法的努力
也取得了很大成功。但许多人对物理学能否全盘公理化的问题表示怀疑。
⑦某些数的物理性和超越性。1934年和1935年，苏联数学家盖尔封特
和德国数学家施奈德各自独立地解决了这一问题的后半部分。
⑧素数问题。素数是一个古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼（1826
—1866）猜想、哥德巴赫猜想以及孪生素数问题。
黎曼猜想是黎曼于1859年的论文《在给定大小之下的素数个数》中作出
的，至今未能解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题的最佳结果均属于中国数
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学家陈景润。
哥德巴赫猜想是德国数学家哥德巴赫（1690—1764）于1742年提出的关
于“大偶数可表为两个素数之和”的猜想。这一猜想被简称为“1＋1”。许多
数学家为解决这一猜想作出了努力，但直到本世纪20年代才有所进展。
1920年左右，挪威数学家希朗改进了古老的筛法，首先证明出了“9＋9”，
即“大偶数可表为两个素因子不超过9个的数”。接着，从1924年到1956
年，陆续证明出了“7＋7”，“6＋6”，“5＋5”，“4＋4”，“3＋3”。中国数
学家王元于1958年证明出了“2＋3”。
1948年，匈牙利数学家兰尼恩从另一角度出发，证明了“1＋6”；1962
年，中国数学家潘承洞证明了“1＋5”；同年，王元、潘承洞等证明了“1＋4”；
1965年，意大利数学家庞皮爱黎等证明了“1＋3”。
1966年，年仅33岁的中国青年数学家陈景润证明了“大偶数可表为一
个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”，即“1＋2”，并于1973年发表
了详细的论证。英国数学家哈勃斯和德国数学家理查德在伦敦出版的 《筛
法》，将陈景润的证明增为“陈氏定理”，并赞扬其为“构成筛法理论的光
辉顶点”。这一突破性进展，离最后的结果“1＋1”，还有一步之遥。数学界
认为，要彻底解决哥德巴赫猜想，现在的方法已经用尽，必须在方法上有所
突破和创新。
⑨任意数领域中最一般的互反率的证明。该问题已分别由
日本数学家高木贞治（1875—1960）于1921年和奥地利数学家阿廷（1898
—1962）于1927年解决。
⑩丢番图方程可解性的判别。求出一个整数系数方程的整数根，称为丢
番图 （古希腊数学家，约210～290）方程可解。希尔伯特问，是否能用一种
有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1950年前后，美国数
学家戴维斯、普特南、罗宾逊等取得关键性突破，1970年，苏联的马季亚谢
维奇最终证明，第10问题的答案是否定的。尽管如此，该问题的探索过程产
生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系。
（11）系数为任意代数数的二次型。德国人哈塞、西格尔和法国的魏依在
此问题上均取得重要结果。
（12）阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域。该问题尚未
解决。
（13）不可能用只有两个变数的函数解一般七次方程。1957年，苏联数学
家阿诺尔德 （V。I。Arno