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勾股（第九章）：主要讲勾股定理及其应用，并提出了一般二次方程的
解法问题。
《九章算术》成书后，一直是中国古代的数学教材，在民间也广泛流传，
成为中国数学著作中影响最大的一部。另外，它对世界数学也产生了很大的
影响，它曾经流传到朝鲜和日本，推动了朝鲜和日本的古代数学的发展。苏
联、日本、德国、英国等国都有它的原文译本，受到各国学者、专家的重视，
在世界数学史上成为与《几何原本》相提并论的重要著作。
它的伟大，在于它总结了中国古代从西周一直到东汉的数学成果，并初
步地形成了中国的数学体系，这可以从它的内容中反映出来：
在算术上，它的成就是比较完整地讲解了分数计算方法，包括四则运算、
通分、约分、化代分数为假分数等；各种比例问题的解决；“盈不足”问题
的出现及解决；以及解释一些数学难题等。该书中所用的步骤和方法大体与
现代的一致，这是世界上第一次系统的叙述分数运算，比西方要早得多。书
中在解比例问题时出现了单比例公式：
所有数×所求率
所求数=
所有率
另外还有复比例和连比例等方面的内容，已包括了现代算术中的全部比
例的内容，形成了一个完整的系统。到6世纪时古印度才出现类似的“三率
法”，而欧洲更晚。书中还出现了盈不足问题以及统一的计算公式：
a b
… Page 30…
把《九章算术》与《几何原本》相比较，我们发现：《几何原本》是以
形式逻辑的方法贯穿全书，以几何内容为主，略有一点算术内容，没有应用
问题。而《九章算术》则以问题的性质来进行分类编排，包含了算术、代数、
几何等中国古代数学的全部内容，并以应用为主。这两本书代表了东西方数
学的不同风格，在数学发展史中占有着同等的地位。
（2）中国数学的黄金时代
《九章算术》的问世，标志着中国古代数学体系已初步形成。在这个基
础上，魏晋南北朝时期（公元3—6世纪），数学又得到长足发展，取得了许
多辉煌的成就，对《九章算术》的检验、赵爽的《周髀算经注》、刘微的《九
章算术注》及其他成就都极为重要，而祖冲之父子的贡献更将这一时期的数
学推向高峰，使之成为中国数学发展史上的黄金时代。
①赵爽与 《勾股圆方图注》
赵爽（约公元3—4世纪）是我国历史上著名的数学家，他在数学方面的
成就，主要体现在《周髀算经注》一书中，其中尤以《勾股圆方图》最有价
值。《勾股圆方图》是作为《周髀算经》的注文而存于书中的，全文只有530
余字，但却包含着很重要的内容。赵爽在《图》中利用图形的移补凑和而面
积不变法 （称为演段术）（图见右），第一次从理论上证明了勾股定理，
并解出勾、股、弦及其和差互求问题36种中的24种。另外，图中还有二次
方程的问题，赵爽得出了与“韦达定理”类似的结果，
2 2 2c
… Page 31…
公元263年，他注《九章》时，对所有的命题都给出了证明或说明。正是利
用割补术，他创造了一条关于计算体积的定理，为我国球体体积的研究奠定
了基础。
第七、创造了“割圆术”，指出过去的圆周率近似值的粗疏。在《方田》
中，运用“割圆术”系统，严密地利用内接正多边形的面积无限逼近圆面积
的办法来求圆周率，他为此计算到内接正3072边形，由此求得圆周率近似值
3927
为π＝ = 3。1416这一数值已相当精确，比欧洲早1，000余年。在此
1250
过程中，他创立并使用了极限，他说：“割之弥细，所失弥小，割之又割，
以至不可割，则于圆合体而无所失矣。”
第八、《九章算术注》的最后一部分《重究》，总结和研究了古代劳动
人民的测量术，发展了“二重差方法”，将相似三角形的性质进一步阐述，
并广泛应用。这种重差术的出现，表明了刘徽在测量上的造诣之深，远远超
过当时世界各国数学家的水平。唐代以后独立成书，称为《海岛算经》。
第九、在继承前人成就的基础上，利用图形对勾股定理进行系统多角度
地证明，并将它推而广之。
刘徽注解《九章》，并在数学的许多方面作出卓越贡献，这是空前的壮
举，这使他在中国数学史和世界数学史上永耀光采。
③六部算经
与刘徽同时代，我国曾出现6部有影响的数学著作，它们是约于公元四
五世纪成书的《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张邱建算
经》、《五经算术》和《数术记遗》。但这些书的作者履历和编写年代不很
清楚。这些书较全面地介绍了当时中国在
数学上的成就，影响较大，后来都被列入唐初十部算经之中。特别值的
注意的是《孙子算经》，该书约成书于公元四五世纪，提出了“物不知数”
的问题，兼作了解答。《孙子算经》卷下记载：“今有物不知其数，三三数
之剩二、五五数剩三，七七数之剩二，何物几何？答曰：二十三。”后经南
宋秦九韶发展成为一次同余式理论，被称为“中国式的剩余定理”。在欧洲
直到1801年德国人高斯才提出同一定理。
④祖冲之父子的贡献
祖冲之（公元429—500年），字文远，今河北涞水县人，曾在南朝刘宋
政权任从事史、公府参军等职，长期从事天文历法和数学研究，公元463年
制成《大明历》，对前人历法进行了修改。在萧齐政权曾任长水校尉等职。
对机械制造感兴趣，曾制造了指南车、千里船、水碓磨、欹器、刻漏及其他
运输机械。他还在古籍研究上有一定贡献。但他最大的成就是在数学方面。
他给 《张章》和刘徽的《重差》作过注，并著有《缀术》一书。
祖冲之的儿子祖暅，博学多才，曾两次建议梁朝政府推行 《大明历》，
撰有《天文录》30卷、《漏刻经》1卷、《缀术》6卷（与祖冲之的《缀术》
同名），继承和发扬光大了祖冲之在数学方面的成就。
他们的成绩非常显著，主要有：
第一、圆周率的计算。根据《隋书·律历志》的记载，祖冲之是在前人
的基础上进行了更为精密的计算。他以一丈作为圆的直径，并把它为分一亿
份，一份为一忽，计算出圆周长应在3丈1尺4寸1分5厘9毫2微7忽和
3丈1尺4寸1分5厘9毫2微6忽之间。即
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3。1415926＜π＜3。1415927将圆周率精确到小数点后第7位数字，这比
西方早了近千年。祖冲之在进行计算时，给出了两个分数值的圆周率，即
355
密率（精确值）π＝ ＝3。1415927
113
22
约率：π= = 3。14。
7
又称“祖率”，也比西方早了1，000多年。
第二、球体体积的计算。祖冲之父子完全采用刘徽计算球体体积的方法，
用牟合方盖 （即立方体内切球）来计算。为使问题简化，他们仅用1/8的立
方体和所含的1/8的方盖。如图：
（a）为边长为r的立方体，为球的外切正方体的1/8。我们以o为球心，
r为底圆的半径，按把立方体截为圆柱体的一角的方法，从横竖两面把立方
体截开，成为图中（b）、（c）、（d）、（e），其中（b）为1/8弁合方盖。
再把这四部分仍合成为立方体，在高为h处横截这个立方体，得出图 （f），
则在直角三角形ABC中，AB为半径r，BC高为h。AC为1/8牟合方盖被截面
（正方形）一边的长（设为a），则
AC2
… Page 33…
四、世界古代后期的农学
世界古代后期是农业科学技术体系形成时期。仍处于奴隶制社会的古罗
马民族继承和发扬地中海文明，在农业科技领域里取得了重大的进步。铁器
农机具的改进，使新的生产工具不断增加，满足了农业生产发展的需要，减
轻了劳动强度，提高了作业效率。在耕作方法和物种等方面都有所创新。尤
其是在农业生产理论上颇有建树。政治家、农学家加图撰写了《农业志》、
瓦罗著《论农业》，科普美拉写《论农务》，对农业生产管理和农业生产技
术进行了系统的总结，形成了农业生产理论。
在东方，中国自春秋末年进入封建社会以来，随着秦汉的统一和经济的
繁荣，作为封建经济之本的农业也有重大发展。劳动人民在继承前代农业生
产技术的基础上，不断总结经验，丰富作物品种、改进和发明先进的耕作方
法，涌现了以贾思勰为代表的古代农学家，并为后人留下了闻名于世的农业
专著《齐民要术》，将中国农学技术和理论水平推向了新的高峰。
亚洲的塞琉古、古印度的孔雀王朝，日本的农业也都各有千秋，生产技
术水平得到不同程度的提高，为后世农业的发�