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的解析几何、微积分学相比,其研究内容可以用“初等数学”来概括,因此
数学界称这一时期为“初等数学时期”。
古希腊数学的全盛期在亚历山大前期,当时数学家云集在当时的文化中
心——亚历山大里亚,进行教学与研究,涌现出象阿基米德、欧几里得、阿
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波罗尼斯等众多伟大的数学家,造成一时的声势。亚历山大后期的数学成就
虽不象前期那么大,但在托勒密、海伦、门纳劳斯、帕普斯等人的辛勤劳作
下,亚历山大学者仍继承了前期数学家的遗产,不断有所发现,推动着数学
的进步与发展。
(1)托勒密
托勒密 (约公元85—165年)是古代天文学的集大成者。他继承前贤尤
其是喜帕恰斯的成就,加以整理发挥,编入他的《天文集》13卷中。该书是
亚历山大学派或整个古代天文学的总结,它的基本理论是地球中心说。此书
包括从0°—90°每隔半度的弦表,其作用相当于从0°—90°每隔1/4°的
正弦函数表。
托勒密采用巴比伦人的60进位制,把圆周分为360°。另一方面,又将
半径分为60等份,每一份分为60小份,每一小份再分为更小的份,依次类
推。他把这些小份依次称为“第一小份”、“第二小份”。后来“小”变成
了“分”(minte),“第二”变成秒(sec…ond),这就是“分、秒”名称
的来源。
托勒密取半径的1/60作为长度的单位,例如60°的弦长是60°、对
90°的弦长是 2 60°或84 °51 ′11″。
他利用圆内接正五边形和十边形的边长推导对36°与72°的弦长。其他
的弦长,则根据“托勒密定理”来推导。实质上托勒密已经得到下列公式:
2 2
sinx+cosx=1、sin(x—y)=sinx cosy—cosx
x 1
siny、cos (x+y)= cosx cosy
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(3)其他
此外,希腊学者尼科马霍斯(公元100年前后,杰拉什地方今约旦北部
一带的人);因著有《算术入门》一书,通俗易懂,明白晓畅,成为算术入
门的基础,对后世也产生了较大的影响。
2。印度的数学
古代印度也是世界文明的发源地之一,曾对人类文明作出过不可磨灭的
贡献。在古代后期,印度文明进一步发展,在数学上的突出成就是对数码的
完善和阿耶波多第一对三角学的卓越贡献。
(1)印度数码的完善
现代国际上通用的阿拉伯数码最早是由印度人发明的,它 的发明有一
段漫长而复杂的历史。
最初印度人用梵文(印度古代文字)的字头表示数码,即早在公元前2500
年前后出现的“哈拉巴数码”,其数码形状是:
■
公元前后,古印度则通行起卡罗什奇数码和婆罗门数码。其中,卡罗什
奇数码的形状为:
■
婆罗门数码的形状为:
卡罗什奇数码:■
婆罗门数码:■
公元2世纪,数码又写成下面的形状:■
公元5世纪后印度数码中已明确出现了零的符号,使记数逐渐演变为十
进位值制。
8世纪以后,则演变为“德温那格利”(Devanagri)数码,记为:■
零号是印度人的卓越发明,没有零号,就没有完整的位值制记数法,这
种记数法能用简单的几个数码表示一切数。世界上也有不少民族懂得零的道
理,然而进行系统地研究、处理和介绍零,还是以印度人的功劳最大。
公元773年,巴格达城的印度天文学家,开始把印度的天文学及数学书
籍译成阿拉伯文,使印度的数码传到中亚细亚和西亚。当时印刷术还没有发
明,书籍全用手抄,字体因人因地而异,出入很大。
12世纪之初,欧洲开始将大量阿拉伯文的数学书籍译成拉丁文。意大利
的斐波那契是当时最出色的学者,他用拉丁文写成《算盘书》,将印度的阿
拉伯数码和记数制度介绍给欧洲人,书的开头说:“印度的九个数目字是9、
8、7、6、5、4、3、2、1,用这九个数字以及阿拉伯人叫做Sift(零)的记
号0,任何数都可以表示出来”。当时这些数码和现代的写法仍然有很大的
差别。
印度数码传入中亚细亚时,梵文的空(Sunya)被译成阿拉伯文Sifr,
传入欧洲后变成拉丁文Zephirum,以后再变成英文的零字Cipher和Zero。
欧洲人只知道这些数码从阿拉伯人传来,故称之为“阿拉伯数码”。
以后,中国的印刷术传到欧洲,在1480年英国的卡克斯敦(1422—1491)
出版的印刷本书籍中,数码已相当接近于现代的写法:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
到1522年,英国同斯托(1474—1559)的书才和现在的写法基本上一致,
以后逐渐固定下来。
阿拉伯数码传入中国,最早是在13、14世纪,但迟迟不被采用。到1859
年伟烈亚力和李善兰合译《代微积拾级》一书中,将常数A、B、C、D译成甲、
乙、丙、丁;X、Y译成天、地;阿拉伯数码译成一、二、三、四等。
中国迟迟不采用阿拉伯数码,主要原因可能是中国自古以来使用筹算式
数码记数法,也是十进位制,汉字数码和阿拉伯数码相比,后者并未先进多
少。而欧洲中世纪用的是罗马字母非位值制记数法,冗长笨拙,和阿拉伯数
字相比则落后许多,故容易接收。
(2)阿耶波多第一
阿耶波多第一(约公元476—550年)是我们知道的印度最早的数学家,
生于恒河南岸的巴连弗邑,在今印度东北部比哈尔邦的巴特那市。公元494
年写成《阿耶波多文集》,是对自己一生成就的总结,该书已失传。近年来
又发现《阿耶波多历数书》,包括《天文表集》、《算术》、《时间的度量》、
《球》等部分,共有诗121行,其中两篇论数学,分别论述了记数法、整数
的运算法则、自然数平方、立方和公式、分数的约分和通分法则、三率法、
算术数列、三角垛等算术问题、假设法、逆形法和特殊的线性方程组解法及
一次不定方程(组)的解法。
阿耶波多指出圆周率之值为:“100加4再乘8,再加62000,就得到
104×8
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在秦以前,中国数学虽已有了丰富的内容,但比较孤立,没有建立起内
部联系。到秦汉时期,随着生产力的提高,数学也获得了很大的发展,最早
计算工具——算筹的普遍运用,最早的数学著作——《周髀算经》(汇集西
周以来的科研成果)的出现,以及第一部数学方面的专著《九章算术》的形
成,都代表了当时数学的最高成就,尤其是《九章算术》的出现,标志着中
国数学体系的初步形成,从此,中国数学便进入了九章时代。
①算筹的普遍运用
算筹是中国古代的主要计算工具之一,它具有简单、形象、具体等长处,
它是经过长期演变而形成的。至迟在春秋末年,我国劳动人民就在生产实践
中创造出算筹,最初一般是用小竹棍做的,称为筹、算子或策(另外,投壶、
六博游戏等所用的竹棍也叫筹)。到了西汉时期已普遍使用,并形成了一定
的规格。据《汉书·律历志》记载,算筹用竹作成,长约20厘米 (六寸),
直径约3毫米(1分),271枚为一组,称为一握。用算筹进行运算,有纵横
两种筹式:
纵式:■
横式:■
分别表示1、2、3、4、5、6、7、8、9九个自然数。算筹的摆法是纵横
相间,个位为纵,十位为横,若是零,便空一位。因此便可进行加、
减、乘、除、开方等运算。这是中国人民独特的创造。
② 《周髀算经》的出现
《周髀》是一部主张盖天论的天文学著作,但在书中有相当繁琐的数字
计算和勾股定理的引用,成为我国最早的数学著作,因此地位相当重要。书
中的数学内容主要有:
a。记录了分数的乘除法、公分母的求法以及分数的应用。这些计算方法
后来被广泛运用。
b。讨论了日影的测量,并列出一年中各个节气的日影长度表。
c。出现了等差级数。
d。引用了勾股定理,并用到了开方的方法。其公式是:
C = a2
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二章):讲各种比例问题,特别是关于各种粮谷间的比例交换问题。衰分(第
三章):主要讲解一些按比例分配的问题。少广(第四章):讲由已知面积
和体积求边的问题,其中涉及平方,立方的方法。
商功(第五章):主要讲立体体积的计算问题。
均输 (第六章):主要讲按均输法合理安排各地区运输赋粟和分派徭役
等问题。
盈不足 (第七章):主要讲盈亏问题的解法和比例问题。
方程 (第八章):讲关于多元一次方程组的解法,还讲解了正负数的概
念及正负数加减法的法则。
勾股(第九章):主要讲勾股定理及其应用,并提出了一般二次方程的
解法问题。
《九章算术》成书后,一直是中国古代