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数学与自然现象
定量研究的发展以及将数学作为一种工具而不断增长的对它的依赖，其重要性决不亚于新近对观察证据的重视。柏拉图曾强调数学的重要性，而对他著作的重感兴趣的确影响了这一领域中的各门科学。在我们论述的这一时期，伽利略是这种进展中的关键人物。由于他把数学视为诠释自然的必不可少的指南，因而他寻求运用数学抽象概念对运动进行一种新的描述。在这一过程中，伽利略敏锐地意识到，他正与亚里士多德探求原因的传统做法背道而驰。
伴随着自然哲学中数学的全新运用，数学本身出现了戏剧性的新进展。塔尔塔利亚（Tartaglia，1500—1557） ① 、卡达诺（Cardano，1501—1576） ② 以及韦达（Viete，1540—1603） ③ 的代数学著作，在16世纪极大地促进了这门学科的发展。而冗长乏味的算术运算，则通过耐普尔（Napier，1550—1617） ④ 发明的对数而得到极大的简化。并且，稍微超出我们所论述的时代之外，莱布尼茨（1_eibniz，1646—1716） ⑤ 和牛顿通过各自的努力，分别发明了微积分。所有这些方法很快被当时的科学家们所掌握，成为他们工作的助手。
①意大利数学家。——译注
②意大利数学家。——译注
③法国数学家，著有《分析术引论》。——译注
④苏格兰数学家。——译注
⑤德国哲学家和数学家，博学多才，被称为“ 17 世纪的亚里士多德”。——译注
如果有人询问在16世纪数学得到这种运用的原因，那么，他很可能得到各种不同的回答。答案之一肯定是阿基米德著作的重新获得，这位古希腊作者的方法最接近于新科学的方法。他的原著从未完全散佚，但在16世纪中叶随着他著作一系列新版本的出现，表明了阿基米德的一种新影响已经形成。另一个重要因素是14世纪牛津和巴黎的学者们开创的对运动研究持续不断的兴趣。毫无疑问，作为一位学者，伽利略是这种传统的受益人。第三个因素，当然是柏拉图派（Platonic）、新柏拉图派和毕达哥拉斯派（Pythagorean）的复兴。这种影响常常带有神秘的味道，但不论它是何种形式，对这一时期的许多科学家来说，它都是一种重要的促进因素。最后一个因素可能就是对与实用技艺和技术有关的实用数学的需要。
技术
暂时停止考察这种对技术的新兴趣是有益的。虽然人们对这种关系所涉及的范围尚有争论，但很显然，至少那些对军事感兴趣的人在其使用加农炮时需要数学研究，而航海家则要使用运算来确定其在海上的位置。从水手们使用的实用星盘到第谷·布拉赫（Tyeho
Brahe） ① 制造的巨大天文仪器，这是一个在仪器制造学上取得了令人瞩目和难忘的进步的时期。望远镜、显微镜、第一只有效的温度计以及许多其他工具，一一由工匠和科学家制造出来。的确，科学家第一次对手工艺人的工作产生了积极兴趣。这可以部分地解释为是对古代权威的反叛，因为大多数古代和中世纪的自然研究完全排斥工匠所采用的方式。中世纪大学里的经院学者赞同古人，并很少离开自己的图书馆和书斋。然而，在文艺复兴时期，发生了一场巨大的变化。虽然在15世纪的一些书籍中对实用技艺可能没有什么描述，但早在1510年，采矿操作手册就开始印行，有关其他领域的类似著作此后不久也相继出现。
①丹麦天文学家 （1546…1604） 。最后一位也是最伟大的一位用肉眼观测的天文学家，同时也是最后一位坚持地心体系而抵制哥白尼日心体系的大天文学家。第谷去世后，他所有的精制仪器再也没有人用过，伽利略的望远镜使这一切都成为过时。——译注
与较早期的情况相反，这时的科学家和医生公开承认，学者向普通入学习会使自己的工作做得更好。帕拉塞尔苏斯劝诫他的读者们：
“医生必须懂得的所有东西并不都是在学校里学到的。他必须不时向老妇人、向被称为吉卜赛人的鞑靼人、向巡游的术士、向年长的乡下人以及其他许多常常被轻视的人学习。他将从他们那里获取知识，因为这些人比所有高等学府更懂得这类事情。”
而伽利略则把以下陈述坦率地作为他的划时代著作《关于两种新科学的推理和证明》（Discourses and Demonstrations
Concerning Two New Sciences，1638）的开头：
“在你们这座著名的兵工厂里，你们威尼斯人展现的永恒活力，为那些勤于用脑的人提供了一个广阔的调查研究领域，尤其是包含力学的那部分工作；因为在这一部门中，各种类型的仪器和机器不断地由许多工匠制造出来，他们中一定有些人，部分地依据传统的经验、部分地依据他们自己的观察，在说明事物时已非常内行和熟练。”
如果我们考虑进阿格里柯拉（Agricola，1494—1555） ① 和比林格西奥（Biringuccio，约卒于1540年） ② 那些伟大的采矿论文、弗兰西斯·培根关于科学的实用目的的观点以及早期科学团体所声称的实用目标，那么，可以列举的例子可能会大大增多。毫无疑问，由于工匠和科学家的贡献促进了这种实用程序的研究，科学的某些领域取得了进步。约翰·鲁道夫·格劳伯（Johann
Rudolph Glauber，1604—1670） ③ 在他所目睹的各种进展的鼓舞下，预言道，如果德国的统治者遵循他在《德国的繁荣》（Prosperity
of
Germany）一书中提出的计划，那么德国就可以称霸整个西欧。然而，即使我们姑且承认科学家对技术的这种迟来的重视，但在完全进入18世纪之前，较小的科学社团对技术并未作出明显的反应。
①德国矿物学家、医生，著有《论金属》。——译注
②意大利冶金学家。——译注
③德国化学家。——译注
神秘主义与科学
新科学形成的第四个组成部分——也就是从后牛顿派（post…Newtonian）的优越观点看来极不可能的一个组成部分——是文艺复兴时期对自然进行一种神秘探讨的新兴趣。这在很大程度上可以归于对柏拉图派、新柏拉图派和赫尔墨斯派著作重新产生的浓厚兴趣。这种影响首先存在于数学中，然后存在于对自然法术的广泛兴趣中。特别提到这一点是具有指导意义的。
从我们的观点来看，文艺复兴时期的数学具有一把双刃剑的作用。一方面，对数学的新兴趣推动了对自然进行一种数学探讨的发展以及几何学和代数学自身的发展；另一方面，同样的兴趣导致了神秘主义者（occultist）开展与数秘主义（number
mysticism）有关的各种探究。文艺复兴时期犹太教神秘哲学研究鼓励人们对《圣经》进行一种神秘的数字学探究，以期发现广泛的真理。类似地，幻方（magic
squares） ① 与和谐比率（harmonic
ratios）似乎可以洞悉自然和神。即使在古代，这种倾向也体现在柏拉图时代之前的毕达哥拉斯传统中。柏拉图在《蒂迈欧篇》（Timaeus）中的数字学思考持续影响了整个中世纪的学术界，并且在15世纪，随着古代晚期各种原著的复现，人们再次听到了这些主题。
①又称纵横图，即将一组数按方阵排列，使其各行、列 （ 有时包括对角线 ） 上各数之和均相等。——译注
当在同一作者的著作中出现了“神秘的”和“科学的”东西时，重要的是不要试图将两者分离开来，否则就会歪曲那个时期的知识氛围。当然，要证明开普勒系统阐述的支配行星运动的数学定律或者伽利略提出的对运动的数学描述，并不是一件难事。这些都是现代科学发展中的重大里程碑。但我们不应该忘记，开普勒试图使行星轨道适合以正多面体为基础的体系，而伽利略从未放松他对行星依圆周运动的坚持。
这两位作者所得出的结论都受到了他们认为天空完美的思想的强烈影响。今天，我们总是把第一个例子称为“科学的”，而第二个例子则不是。但是，如果我们硬要17世纪的人们作这种区分，则是非历史的做法。
罗伯特·弗拉德就是一个对数学进行一种赫尔墨斯…化学论（Hermetic—chemical）探讨的出色例子。几乎没有什么人比他更加坚决地主张，数学对于任何宇宙研究来说是必不可少的。但弗拉德还应该补充一句，即真正的数学家应该提升自己的眼界，其目的应该是通过各种圆形、三角形、正方形以及其他圆形的相互关系，来显示自然界的神性相谐。这些图形明确表明了大世界与人的联系。弗拉德寻求对自然进行一种全新的探讨，像开普勒和伽利略一样，他希望把数学作为一把钥匙来使用。但他所认为的定量方法十分不同于其他人。弗拉德相信数学家应该使用这种工具来研究宇宙的整体设计，而不应该一像伽利略一样一关心像落体运动这样的次要现象。
由于定量方法在近代科学兴起中的重要作用，数学的情况显得特别重要。但是，后期古希腊哲学的神秘影响对16世纪思想的深刻冲击超过了数学。新柏拉图主义与基督教传统蕴含着对自然界统一性的信仰，这种统一性将上帝和天使作为一端而将人和地上世界作为另一端。与此相应的是对大宇宙一小宇宙关系之真实性的始终不渝的信仰，对人是按照大世界的形象创造出来的观念的信仰，以及对在人和大宇宙之间确实存在着真正的一致性的信仰。
大宇宙和小宇宙与巨大的生命链一起已被人们普遍接受，这使人们相信在天上世界和地上世界之间处处存在着一致性。在古代世界，此类信仰似