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朝廷养兵本卫民，临敌不战为何哉？”
表达了他对侵略者的刻骨仇恨，对老百姓的深切同情，也表达了他对清
政府临敌不战的强烈不满和他对敌主战的鲜明态度。
1845年前后，李善兰在嘉兴陆费设馆授徒，得以与江浙一带以数学家为
主的学者顾观光（1799—1862）、张文虎（1808—1885）、汪曰桢（1813—
1881）等人相识，他们经常在一起讨论数学问题。此间，李善兰有关于“尖
锥术”的著作 《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》等问世。
19世纪40年代，在近代数学尚未自西方传入中国的条件下，李善兰异
军突起，独辟蹊径，通过自己的刻苦钻研，从中国传统数学中垛积术和极限
方法的基础上出发，大胆创新，发明尖锥术，具有解析几何的启蒙思想，得
出了一些重要的积分公式，创立了二次平方根的幂级数展开式，各种三角函
数，反三角函数和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19世纪中国数
学界最重大的成就。
李善兰认为：
“元数起于丝发而递增之而造成则成平尖锥；
“平方数起于丝发而渐增之而迭之则成立尖锥；
“立方数起于丝发而渐增之变为面而迭之则成三乘尖锥；
“三乘方数起于丝发而渐增之变为面而迭之成三乘尖锥，……
“从此递推可至无穷。然则多一乘之尖锥皆少一乘方渐增渐迭而成也。”
因此，“诸乘方皆有尖锥”，
“三乘以上尖锥之底皆方，惟上四面不作平体，而成凹形。乘愈多，则
凹愈甚”（图1）。
“尖锥之算法”乃是
“以高乘底为实，本乘方数加1为法，除之得尖锥积”。
又，“二乘以上尖锥所迭之面皆可变为线”，
“诸尖锥既为平面，则可变为一尖锥”。
n
这样，对于一切自然数n，乘方数X都可用线段长表示，它们可以积迭
成n乘尖锥面。这种尖锥面由相互垂直的底线，高线和凹向的尖锥曲线组成。
乘数愈多（即幂次愈高），尖锥曲线其凹愈甚（图2）。
2 …8 2 …8
在《方圆阐幽》中，李善兰取X=10及X=2×10，用“分离元数法”
归纳得二项平方根展开式
… Page 6…
2 ∞ （2n
… Page 7…
其中正切、正割、正反切、正反割的幂级数展开式是在中国首次独立得到的。
在《对数探源》中，李善兰列出了十道命题，从各个方面描述对数合尖
锥曲线的性质。例如命题九“凡两残积，此残积之高与彼残积之高，彼截线
与此截线可相为比例。”（图5）
即是说xy=xy，或xy=c（这里c=bh为常量）。然后，根据这些性质
1122
得出了对数的幂级数展开式
∞
1
lgn
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誉。英国传教士伟烈亚力 （1815—1887）说：
“李善兰的对数论，使用了具有独创性的一连串方法，这到了如同圣文
森特的格雷戈里 （1638—1675）发明双曲线求积法时同样漂亮的结果。”
“倘若李善兰生于纳皮尔（1550—1917）、布里格斯（1556—1631）之
时，则只此一端即可闻名于世。”
顾观光发觉李善兰求对数的方法比传教士带进来的方法高明、简捷，认
为这是洋人“故为委曲繁重之算法以惑人视听”，因而大力表彰说：“中土
李 （善兰）、戴（煦）诸公又能入其室而发其藏”，并大声疾呼“以告中土
之受欺而不悟者”。
四、著书与交往
1845年，李善兰还撰著了《四元解》 2卷。
《四元解》是解释元朱世杰《四元玉鉴》中的高次方程自消之解法。
朱世杰字汉卿，号松庭。北京附近人。他的《四元玉鉴》成书于1303
年，全书分3卷，24门，共288个问题，最主要的问题是四元术。
四元术是在天元术基础上逐渐发展而成的。
四元术是多元高次方程列方程亦解方程的方法，未知数最多时可至4
个。
四元术开头处总要有
“立天元一为××，地元一为○○，人元一为△△，物元一为**”，即
相当于现代的
“设x，y，z，u为××，○○，△△，**。”
天元术是用一个竖列的筹式依次表示未知数（x）的各次幂的系数的，而
四元术则是天元术的推广。
朱世杰的四元术消去法，即将多元高次方程组依次消元，最后只余下一
个未知数，从而解决了整个方程组的求解问题。譬如：二元二行式的消法，
其步骤可简述如下：
例如“假合四草”中“三才运元”一问，最后得出如下图的两个二元二
行式，这相当于求解
… Page 9…
相消。”也就是
F（z）=AB…AB=0。
01 10
此时F（z）只含z，不含其他未知数。解之，即可得出z之值，代入上式任
何一式中，再解一次只含x的方程即可求出x。
李善兰的《四元解》，则是以自己的见解解四元方程组，对了解朱世杰
原意帮助不大。
1848年，李善兰撰著《麟德术解》，解释唐李淳风（602—670）“麟德
历”中的二次差内插法。
李淳风，岐州雍县 （今陕西风翔）人。撰麟德历，于公元665年行用。
麟德历引进了刘焯 （544—610）的二次差内插法推算太阳和月亮的不均
匀运动。
刘焯的二次差内插法全称是等间距二次差内插法，它的算式可以概括为
t （ △
… Page 10…
广泛的交往。
五、翻译西方科学著作
1852年夏，李善兰到上海墨海书馆，将自己的数学著作给来华的外国传
教士展阅，受到伟烈亚力等人的赞赏，从此开始了他与外国人合作翻译西方
科学著作的生涯。
伟烈亚力祖籍苏格兰，1791年其父移居伦敦。他先后在苏格兰和伦敦上
学，中学毕业后跟随一家具匠为学徒。他很早就对中国深感兴趣，借助于一
本拉丁文的 《汉语知识》和一部汉译《新约》，他无师自通，掌握了汉语的
大概。1846年，英国伦敦会在华传教士理雅各返英为本会在华出版机构物色
人选，伟烈亚力毛遂自荐。理雅各对他的天才十分惊叹，立即接收他入会。
经过半年印刷业务进修之后，随即被派往中国。1847年8月26日来华后，
在上海主持伦敦会墨海书馆的出版事务。
受明末清初来华耶稣会士的影响，伟烈亚力认为宣传科学有利于传播基
督教。他以利玛窦 （1552—1610）等人为榜样，准备翻译科学著作吸引中国
知识分子。为此，在主持馆务之余，他广泛研读中国典籍，开始学习中国传
统的天文数学。他说：
“余自西土远来中国，以传耶稣之道为本，余则兼习艺能。”
1849年，墨海聘王韬译书。现在李善兰又应邀进馆。
李善兰与伟烈亚力翻译的第一部书，是欧几里得《几何原本》后9卷。
徐光启和利玛窦于1607年翻译出版了《几何原本》的前6卷，为初等几
何学部分。后9卷是关于数的理论、不尽根的几何解法、立体几何学等，一
直未能翻译，所以，李善兰说：“续徐、利二公未完之业”。于1857年翻译
出版了《几何原本》后9卷。
在翻译《几何原本》的同时，李善兰又与艾约瑟（1823—1905）合译了
《重学》 20卷。
《重学》即《初等力学》，英国胡威力原著。李善兰同艾约瑟合译的《重
学》是中国近代科学史上第一部包括运动学和动力学、刚体力学和流体力学
在内的力学译著，也是当时最重要、影响最大的物理学译著。其中关于牛顿
（1642—1727）运动三定律，用动量的概念讨论物体的碰撞、功能原理等，
都是首次在中国得以介绍。
其后，还与伟烈亚力合译了：
第一：英国赫歇尔（1738—1822）原著《谈天》，即《天文学纲要》18
卷，内容包括哥白尼（1473—1543）日心地动学说，开普勒（1571—1630）
行星椭圆运动定律和牛顿万有引力定律等，它使中国天文学界耳目为之一
新，近代天文知识开始在中国广为传播，中国近代天文事业从此得到发展。
第二：英国德摩根原著《代数学》13卷。
第三：美国卢米斯原著《代微积拾级》，即《解析几何与微积分初步》 18
卷。
李善兰还与韦廉臣合译了英国林德利原著《植物学》，即《植物学基础》
8卷，是我国最早介绍西方近代植物学的译著，内容包括只有在显微镜下才
能看到的植物内部组织构造，在实验和观察的基础上所建立的有关植物体各
器官组织的生理功能的理论，以植物体本身形态构造特点为依据的科学的植
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物分类方法等。
以上几种书均于 1857—1859年由上海墨海书馆刊行。
此外，他还与伟烈亚力、傅兰雅（1839—1928）合译过《奈端数理》�