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此外，他还与伟烈亚力、傅兰雅（1839—1928）合译过《奈端数理》，
即牛顿《自然哲学的数学原理》，可惜没有译完，未能刊行。
傅兰雅是英国人，出生于贫穷的牧师之家，从小向往中国。1861年自伦
敦海格伯里师范学院毕业后，接受英国圣公会的派遣，到该会所属的香港圣
保罗书院任校长。两年后，北上京师任同文馆英文教习。又两年，转任上海
英华学塾校长。在港、京、沪等地，他很快掌握了当地的方言，不久，即以
其出色的汉语能力小有声名。傅兰雅虽受教会派遣，但对传教兴趣不大，因
而与圣公会发生了矛盾。1868年5月，他辞去英华学塾之职，脱离教会，就
上海制造局聘任，从事西方科技著作的翻译工作，转而为清政府效力。6月，
制造局专设一翻译馆，进行了大量的翻译工作。
李善兰在翻译过程中，大量的近代科学名词，其中文译名都没有先例可
供参考。本着对后人负责的精神，李善兰仔细琢磨，反复斟酌，十分贴切地
创译了一大批科学名词，如代数学中的代数、函数、常数、变数、系数、已
知数、未知数、方程式、单项式、多项式等，解析几何学中的原点、轴、圆
锥曲线、抛物线、双曲线、渐近线、切线、法线、摆线、蚌线，螺线等，微
积分中的无穷、极限、曲率、歧点、微分、积分等；天文学中的历元、方位、
视差、自行、摄动、光行差、月行差、月角差、二均差、蒙气差、星等、变
星、双星、三合星、本轮、均轮等；力学中的分力、合力、质点、刚体等；
植物学中的植物、细胞、菊科、豆科、蔷薇科、杨柳科、芭蕉科等。一百多
年过去了，这些科学名词不仅在我国流传下来，还飘洋过海，东渡日本等国，
沿用至今未改。
李善兰在19世纪50年代中对西方近代科学中数学、物理、天文、生物
等学科的翻译工作，加上70年代初徐寿（1818—1884）对化学，华蘅芳（1833
—1902）对地学的翻译工作，20年间，近代科学各大门类的先进知识都介绍
进了中国，这为中国近代科学的发展奠定了坚实的理论基础，具有不可磨灭
的历史意义。
在译书的同时，李善兰还帮助伟烈亚力研究中国天文算学，并把中国天
文数学的成就介绍到西方。
六、垛积术
1858年12月，徐有壬任江苏巡抚。
1860年，徐有壬邀请李善兰作其幕宾。
4月13日，太平天国忠王李秀成部攻克苏州，徐有壬被杀。太平军占领
苏州后，李善兰留在苏州的行箧，包括各种著作手稿，散失以尽。从此他“绝
意时事”，避乱上海，埋头从事数学研究，重新著书立说。
徐有壬的代表作是《割圆八线缀术》4卷。自杜德美（1668—1720）将
π、sina、versa的展开式传入中国之后，许多数学家以不同方式进行了深
入的研究并获得了大量结果。其中有些结果彼此相同，从八线互求的角度来
看杜德美弧求弦矢之后，明安图 （1692？—1763？）首先给出弦矢求弧式，
项名达首先给出弦求割矢式，李善兰首先给出弧求割线及其反求式。即：
第一：已知 a，求 seca
… Page 12…
第二：已知seca求a
在此基础上，徐有壬给出其余9式。
李善兰在上海期间，与数学家吴嘉善、刘彝程等人都有过学术上的交往。
1861年秋，洋务派首领、两江总督曾国藩（1811—1872）在安徽筹建安
庆军械所，并邀著名化学家徐寿、数学家华衡芳入幕。李善兰也于1862年被
聘为幕僚，并兼管书局的工作。他一到安庆，就拿出印行了没有多少册而在
战火中毁版的《几何原本》等数学书籍请求曾国藩重印刊行，并推荐张文虎
等人入幕。他们同住一处，经常进行学术讨论，积极参与洋务新政中有关科
学技术方面的活动。
1864年7月 19日，曾国藩攻陷太平天国首都天京（今南京），李善兰
等也跟着到了南京。他再次向曾国藩提出刻印他所译所著的数学书籍，得到
曾国藩的支持和资助，于是有金陵刊本《几何原本》 15卷和1867年金陵刊
本 《则古昔斋算学》24卷问世。
1867年刊行的《则古昔斋算学》收录李善兰20多年来的各种天算著作，
计有：
《方圆阐幽》1卷（1845）
《弧矢启秘》2卷（1845）
《对数探源》2卷（1845）
《垛积比类》4卷
《四元解》4卷（1845）
《麟德术解》 3卷（1848）
《椭圆正术解》2卷
《椭圆新术》1卷
《椭圆拾遗》3卷
《火器真诀》1卷（1858年）
《对数尖锥变法释》1卷
《级数回求》1卷
《天算式问》1卷。
其中，《垛积比类》一书，是李善兰的另一杰出数学成就——垛积术。
在中国数学史上，北宋沈括 （1031—1095）首创隙积术开垛积研究之先
河。
隙积术是一种求解垛积问题的方法，属于高阶等差级数求和的问题。沈
括具体涉及到的有累棋、层坛和积罂等问题，他得出了正确的求解公式：
垛积体数目式体积
h h
V隙 = b ＇ （2b＋d） a＋ （2d＋b ）c＇ ＋ b （c … a）
其中a和c分别为垛积体上、下宽度，b和d分别为垛积体上、下长度，h
为垛积体的高度。
元朱世杰《算学启蒙》（1299）、《四元玉鉴》（1303）中的垛积问题，
分“落一”、“岚峰”两大类，其垛积公式分别为
n r
… Page 13…
n r
… Page 14…
和
n m
… Page 15…
这是他的第三项重要数学成就，是中国素数论上最早的一篇论文。所谓数根，
就是素数。考数根法，就是判断一个自然数是否为素数的方法。
李善兰说：
“任取一数，欲辨是数根否，古无法焉，”他“精思既久，待考之法四”，
即：
第一：屡乘求一法，
第二：天元求一法，
第三：小数回环法，
第四：准根分级法，
d
用以对已给的数N，找出最小的指数d，使a…1能被N整除，这里a是
与N互素的任何自然数。
李善兰证明了著名的费马素数定理（1640），并且指出它的逆定理不真。
d
亦即，若a…1能被 N整除，而 N是素数，则N…1能被d整除；但d能除尽
N…1，未必N一定是素数。
李善兰还进一步指出，若N非素数而d也能整除N…1，则N的因整必具
K＋1的形式，内p为能除尽d的数，k为自然数。只有任何具有k＋1形式
p p
的数都又能除尽N时，N才肯定是素数。
八、其它数学著作
李善兰在他所著的《椭圆正术解》中解释了徐有壬《椭圆正术》中行星
椭圆轨道运行问题的比例算法和对数算法。
李善兰还在《椭圆新术》中首次在我国用无穷级数法求解开普勒方程。
李善兰的《火器真诀》则提出别具一格的图解法，以量代算，是我国第
一部精密科学意义上的弹道学著作。
∞
《级数回求》是通过几个特殊的幂级数y =
… Page 16…
（1727—1804）研究中国古代历法的《三统术衍》和介绍哥白尼学说的《地
球图说》等。
阮元主编，李锐、周治平参与编纂的《畴人传》，是一部著名的述评天
文、数学家活动的传记集。全书46卷，269篇，列叙中国上起三皇五帝时代，
下迄嘉庆初年去世的天文历法家、数学家275人，西洋天文学家、数学家和
来华传教士41人。传记一般是在姓名、字号，籍贯、科举出身和主要官职之
后以主要篇幅介绍传主有关天文学、数学的“议论行事”。有天文、数学著
作的，不论存佚，都列出名目，并录其序言，凡例，记其摘要。书中搜集整
理了丰富的天文数学史料。各篇传记之后，多有阮元撰写的“论”，对人物
的思想和工作进行评论，或对学术的源流沿革进行分析。
阮元在《畴人传》中有其进步意义的一面，但是又在书中宣扬“西学东
源说”，表现出狭隘性和历史的局限。他在书中介绍哥白尼学说后，还做有
贬低性的评论。
李善兰在《谈天》序中，大力表彰哥白尼、开普勒、牛顿等人不断探索
真理，“苟求其故”的科学态度，勇于批判阮元对哥白尼学说的攻击和钱大
昕对开普勒定律的实用主义观点，说阮元、钱大昕“未尝精心考察，而拘牵
经义，妄生议论，甚无谓也。”
李善兰在《星命论》中，揭露“术士专以五行之生克判人一生之休咎”
的荒诞无稽，他的议论非常透彻，发人深省。
十、小学略通术数，大隐不在山林
1874年，李善兰升为户部主事，加六品卿员外衔。