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的不安，特别对于承袭毕达哥拉斯传统的哲学家更是如此，他们已经习惯于把天上——与地球相反——理解为永恒对称的、和谐的领域。
柏拉图提出了一个著名的问题，以减少天上运动的复杂性：使用规则、有序的圆周运动来“拯救”行星现象；这是一种运动学的解释。当波加的阿波罗尼（约前210）建议放弃天球的共同中心时，已经提出一个观察曲线的精确模型。但是，仍然保持了球形的行星运动和等速球体。按照这种主张，行星在球面上作匀速转动（本轮），它们的中心被设想成沿中心点（地球）的一个大圆圈（均轮）上作匀速运动。通过适当地调节速度和两个圆圈运动的直径并变动其运动方向，就有可能作出某种未预料的曲线，而这些在从开普勒到托勒密的天文学中都找到了部分应用。一个个模型的球体对称性因而得到了保留，即使它们不再有共同的中心而是有种种不同的中心时也是如此。
下面的本轮…均轮技巧显示出，通过适当地把匀速的圆周运动结合起来，可以得到多种表现的运动形式。这使得柏拉图派的哲学家的观点更容易理解：在现象的变化背后是永恒的不变的形式。在图2．1中，一个椭圆的轨道是由均轮的运动与本轮的运动结合而成的。图2．2显示了一种封闭的旋轮线。以这种方式，行星与地球之间的距离的变化也就被表示出来。原则上，甚至角度的形象也可以产生出来。当本轮的直径接近于均轮的直径时，就完全是一条直线了。如果人们改变一个行星的从东到西运动的速度，使之沿一个本轮从西到东运动，那么通过适当地组合一个本轮运动和一个均轮运动，还可以产生出三角形和长方形。
如果人们使天体沿第二个本轮作圆周运动，这第二个本轮的中心点是沿第一个本轮运动的，那么就可以产生出多种椭圆轨道、反映…对称曲线、周期曲线以及非周期轨道和反对称曲线。从纯粹的数学和运动学的观点看，柏拉图的“拯救现象”问题是完全解决了。因此，柏拉图式的以匀速圆周运动（被阿波罗尼和托勒密进行了修订）来减少复杂性的做法，原则上也许直至今日还对科学有影响。无论如何，它是不可能由曲线途径的现象学描述来否证的。特别是，从这种观点来看，无论是在所谓的哥白尼革命中将地球和太阳的位置对换，还是把圆周轨道改变成椭圆轨道的开普勒变化，都显得是次要的，因为他们的起始条件都可以追溯到与本轮…均轮技巧符合的对圆周运动的组合。这就带来了两个问题：①这种断言是如何在数学上得到支持的？②如果它得到这种支持，那么它为何在现代科学的曲线理论的应用中却没有起作用呢？为了精确地对第一个问题作出一般性的回答，有必要返回到分析几何的现代结构。但是在历史上，哥白尼和开普勒也知道，他们所用的曲线（例如椭圆）也是可以通过本轮…均轮技巧来重构的。
首先，我们必须记住，平面上的点可以用复数X＝X＋iy＝reiθ来代表，相应的笛卡尔坐标是（x，y）或极坐标是（r，θ）。复数的加法相当于向量的加法。一个具有中心c、半径r和周期T的匀速圆周运动可以表示为
z＝c＋rei（（2πt/T）＋α）＝c＋re（（2πt/T）＋α）（2。1）
式中该点的时刻是t，初相是α。现在假定点A按照方程z＝f（t）运动。让点B相对于A作圆周运动，它有半径r，周期T，初相a。B点的运动就由如下方程描述
z＝f（t）＋rei（2πt/T＋α）（2。2）
于是它就可能描述点B沿某个本轮的运动，其本轮中心绕A运动。新的本轮的加法在数学上是把一个新项re ei（2πt/T＋α）加到z的表达式中。显然，r ei（2πt/T＋α）＝reiαe2πit/T＝aeikt其中复数a≠0，K是实数。在逆行运动情形下，T或k分别为负。n个本轮叠加成的运动于是表示为方程
z＝asu1sueik1t＋asu2sueik2t＋…＋asunsueiknt （2．3）
让我们首先考虑平面Z＝f（t）上的周期运动（例如其周期为2π）数学上，我们假定f在有限变化中是连续的。那么对于f可以表示为一个均匀收敛级数f（t）＝
（2。4）
n＝－8
因此，容易从数学上证明f（t）以通过求和获得近似
Sn（t）＝
（2．5）
其精确度随着N的增加而增加。
函数f的确是均匀收敛的。因此对于任意小的ε＞O，可选择No使得对于所有的N≥No和所有的t，都有
｜f（t）－SsuNsu（t）｜ε（2．6）
令人惊奇之处在于，这种结果意味着，一条（有限变化的）恒定运动轨道，可以用有限的本轮运动的叠加，获得任意精确的近似值。
显然，我们迄今所用的不过是本轮周期的叠加，本轮周期如±2π、±π、±（2／3）π、±（1／2）π、±（2／5）π、…。特别是，只有可公度的叠加才是允许的，这可以用整数的比来表达，从而符合毕达哥拉斯传统。但是，如果我们允许不可公度周期，那么事实上非周期曲线也可用本轮叠加来近似。这种结果在数学上为哈罗德·玻尔关于近周期函数的命题所支持（1932）。第二个问题是，为何解释运动轨道的本轮－均轮技巧被抛弃了，指出观察中遗漏了曲线是无法作出回答的。数学上，观察曲线——无论它是多么的稀奇，只要用柏拉图－阿波罗尼的古代的降低复杂性的策略，原则上就是可以解释的（前述是非常宽的数学条件）。
不过，在此决定性的问题是，行星的“真正”运动是什么，它们本来是组合的、匀速的和末受外力的圆周运动，是我们在地球上看起来显示为椭圆轨道，还是它们事实上是受外力被迫循着椭圆轨道运动。这是难从几何学和运动学上来确定的，而只能从动力学上来确定，即要用相应的受力理论来确定，因而也就是要从物理学上才能确定。
除了本轮－均轮技巧以外，托勒密还使用了假想的均衡点，相对于它，采取了匀速的圆周运动，即相对于地球作为中心，显示出非匀速的运动。这种技巧被证明在计算上是很有用的，但是违背了中心对称性，因而具有先验假设的效果，这在自然哲学看来是不能令人信服的，后来哥白尼就特别对此进行了批评。哥白尼交换了地球和太阳的位置，其理由来自处于支配地位的运动学。也就是说，某种运动学简化的描述是可能以较大对称性来实现的。因此，在日心说模型中，行星的逆行运动可以被解释为地球周年运动的效应，在哥白尼看来它比外层的木星、火星或土星运动得慢，而比内层的水星和金星运动得快。但是，哥白尼完全坚持了保守的自然哲学立场，因为他在“自然”圆周运动的意义上把更大的简单性看作是接近实在的标志。
近代天文学的第一位伟大的数学家约翰奈斯·开普勒认为，简单性信念也是颠扑不破的。他在1596年的《神秘的星际旅行者》中，开始多次尝试把规则体引入行星系统中，两行星之间的距离正是此规则体的内接球面和外切球面。土星、木星、火星、地球、金星和水星这6颗行星所相应的6个球面，恰好是一个处于另一个之中，而且以如下顺序分开：立方体、四面体、十二面体、二十面体和八面体。当然，开普勒的推测不可能推论到适合于一个世纪以后发现的天王星、海王星和冥王星。
开普勒是一位不折不扣的自然科学家，不能长期沉湎于柏拉图式的推测中。他在1609年写的《天文学通论》是一篇独特的文献，是在精确观测结果的不断增加的压力下，通过一步一步的研究来解决古老的柏拉图简单性概念。与哥白尼不同，开普勒将新颖的动力学论据加进了其运动学研究中。他与哥白尼的不同还在于，太阳不再被看作处于运动学的非正圆心点的没有物理学功能的东西，而是被看作行星运动的动力因。新的任务也就是要从数学上来确定这些力。开普勒的用磁场进行的动力学解释只是一次（不成功的）最初尝试。在后来的牛顿引力理论中才取得了成功。
天上（“月上”）世界的简单性和尘世（“月下”）世界的复杂性，在其他文化中也是普遍的。让我们来看一看古代中国的道家自然哲学。它确实是处在神话的边缘，逻辑论证也比古希腊自然哲学要少，更多是激起直觉和神往；然而，两者之间也有类似之处。道家把自然描述为巨大的有机体，受控于循环运动和节律，诸如世代、朝代和个体从出生到死亡的的生命循环，由植物、动物和人类构成的食物链，季节的更替，白天和黑夜，行星的升起和降落，如此等等。所有的事物都与其他事物处于联系之中。一个节律跟着一个节律犹如水波。什么样的力量是自然界中这种模式的终极因呢？如同恩培多克勒那样，道家理论中区别了两种相反的力量，即阴和阳，随其节律的增加或减少就支配着这个世界。《鬼谷子》（公元前4世纪）一书中写道：“阳循环返回其起点。阴极大时就返回到阳。”亚里士多德认为，所有的个体都带着其自然目的而自我运动。这里则是阴阳之道决定着个体的内部节律，那些能量也总是要返回其起点。道的循环运转模型，可以提供一系列的解释：天文学中历法的制订，气象学中的水循环、食物链和生理学中的循环系统。它对于自然中的生命节律是极富说服力的，人们天天都在体验着这种循环，并可以用来指导自己的生活。自然界表现为一个目的性的机体。
值得注意的是，中国的自然哲学中没有原子微粒概念，因而没有发展出西方文艺复兴意义上的数理力学。相反，其核心是自然界和谐的模型，其中节律波和场使得所有的事物都与其他事物相关联。声学的领先以及早期关于磁效应和电效应的见解，在这种自然哲学中成为�