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2．2牛顿宇宙、爱因斯坦宇宙和拉普拉斯妖
自古以来，天文学家和哲学家都相信，天上的运动是由简单的几何定律支配着。简单性不仅仅理解为方法上简单省力所需，而哥白尼却把它作为真理的一个特征。因此，从柏拉图到哥白尼的天文学学说都声称：要将天上系统的表面的复杂性归结为某种简单的真实运动的框架中！欧几里得几何学的基本概念赋予其简单的建筑块：圆周（罗盘）和直线（尺子）。与月上世界的简单性相反，月下的尘世世界倒是真正复杂的。因此它的动力学也就至少是不能在欧几里得几何学的框架中进行数学化的。那就是柏拉图的数学原子论很快就被忘记了的原因，而亚里士多德的见解——复杂的定性的自然动力学在原则上是不可能数学化的——影响着直到文艺复兴的科学研究。
早期的物理学家如伽利略克服了月上（“简单”）世界和月下（“复杂”）世界的界限。他们相信，天上和地下的自然动力学都是由同样的数学规律统治着。在技术上，伽利略简化了例如自由落体的动力学，他选择了一些可观测的、可测量的量而忽略了
另一些约束。简言之，他创造出运用一种理想化实验情形的简化的数学模型。当然，甚至物理定律的天体模型也只考虑了几个参量，诸如行星的角速度和位置，并忽略了其他多种多样的约束条件（例如大球的密度、质量和摩擦）。从现代的观点看，甚至前苏格拉底哲学家，通过选择某些主导“参量”（例如水、火和土），也提出了关于自然界的复杂动力学的定性“模型”。
一般地说，观测一个系统，无论它是物理的生物的还是社会的，都可以从不同状态来进行。为观测现象建立模型的策略，自古以来可能已有变化，但是建模活动的目标在某种意义上却是相同的：被观测系统中状态变化的动力学。显然，真实的状态不可能仅仅用几个可观测参量来描述，但是却假定这是可以做到的。在早期的天文学和力学中，这是数学理想化的第一步，并导致了一组理想状态的几何模型，这在今天称作模型的态空间。前苏格拉底的自然“模型”不同于现代的模型，不仅仅在于数学化和可观测性，还在于真实系统的实际状态与几何模型点之间的关系被认为是本体论上所需要的，而在现代系统中它却是由于理论、预测等等缘故而保留下来的虚构。
最简单的框架是一个参量的模型。早期医学对哺乳动物的认识指出，健康或生病的状态与温度这个参量有关联。许多动物所表现的一些特征可以说也就是对其他动物的情绪状态：狗的耳朵状态相应于它的害怕状态，而犬齿暴露程度则是其愤怒程度的定性“参量”。把两者组合起来，就更恰当地代表了狗的情绪状态。行星的状态在中世纪可用其角速度和场所来定义。其他系统的状态可能需要两种以上的特征来定义（例如用温度、血压和脉搏速率来表示哺乳动物的健康状态）。
在任何情况下，如果这些参量是用数值显示的，那么相应的状态空间就可以用几何空间来表示。因此，二维状态空间中的单个点所表示的两个数值参量的值，就可以表示在欧几里得几何平面上。系统状态的实际变化是可观测的，可以表示成该态空间的一条曲线。如果这条曲线上的每一个点带着记录下观测时间的标志，那么我们就获得了该模型的轨迹。有时，引进另一个时间坐标，用其时间序列来代表参量的变化，这也是很有用的。这种表示叫做轨迹图。
中世纪的动力学概念，包括了这两种表示法。在十四世纪五十年代，波斯经院哲学家尼科尔·奥雷斯密引入了作图表示法或特质强度的几何图形。他主要是讨论了线质的情形，其延长用空间或时间（“特质经度”）线段来度量。他主张，间隔的每一点的强度，用该点的垂直纵坐标（特质纬度）来度量。线质的量的图示为两个参量的图形。在图2．3中，相应于经度AB的间隔时间的匀加速运动中，AB的每一P点的纬度是纵坐标PQ，其长度是相应于该瞬间的速度。此图形的直线DC代表速度状态的轨迹图。所谓的默顿规则立即就从图2．3的几何证明中推导出来：从图2．3中的梯形的面积公式中得出通过的距离：
s＝1/2（vsuosu＋vsufsu）t。
也许这种解释是以把这种面积看成是由许多垂直线段（“不可见量”）为基础构成的，每一线段都代表以非常短（“无限小”）时间中的速度。默顿规则表明，甚至在这很早的状态空间探究方式中，一个好的几何表示就不仅仅是一种有用的形象化，而且还发现了关于动力学的新的概念。当然，奥雷斯密和默顿这些学者最初都只是想把关于特质的亚里士多德类型的物理学加以数学化。但是，他们的工作却在欧洲引起了广泛的沮丧，从而引起伽利略写了一部著作。伽利略著名的《关于两种新科学的谈话》（1638）中，引入了近代力学的基本概念，提出了众所周知的关于从静止开始的匀加速运动（自由落体）的距离公式S＝1/2at2，并给出了相应的证明及类似于奥雷斯密思想的几何图形。
由于牛顿和莱布尼茨，动力系统理论被加入了新内容。微积分允许人们把瞬时速度计算为速度函数的导数，并可以图示为相应曲线的切矢量（图2．4a）。速度矢量场已经成为动力系统理论中的一个基本概念（图2．4b）。用微积分的微分程序通过轨迹决定速度矢量。与此相反，微积分的积分方式使人们可以通过速度矢量决定轨迹。
动力系统的建模策略首先是选择一个态空间，观测结果可以用几个参量来代表。连续的观测得出了此态空间的许多轨迹。在牛顿和莱布尼茨的微积分的意义上，速度矢量可以在这些曲线上的任意点导出，并描述它们在该点的固有动力学趋势。对于态空间任意点的速度矢量的描述，就定义了一个速度矢量场。充满着轨迹的态空间称作该动力系统的“相图”（图2．4c ）。这个动力系统的基本概念最初是亨利·彭加勒引人的。速度矢量场通过微分方法从相图推导出来。
当然，速度矢量场形象地表示了被建模的系统的动力学。实际上，进行长时间的广泛的观测，对于揭示系统——由相应的速度矢量场代表——的动力学趋势是必要的。此建模程序是恰当的，如果我们假定了：（a）一个观测轨迹的速度矢量在任意一点都精确地等于由该动力系统说明的矢量，（b）模型的矢量场是平滑的；“平滑”一词指的是直觉地认为在此不存在跳跃、不存在尖锐的拐角。在一维态空间的情形，矢量场由平面上的图像来说明。因此，如果此图像连续，其导数也连续，此图像就是平滑的。历史上，条件（b）相当于莱布尼茨著名的连续性原理，它在经典物理学框架中处于某种支配性地位。
一般地说，我们把建模程序概括如下：一个动力模型，它总是针对某一实验提出来的。我们可以设想一下如伽利略和牛顿使用过的实验室物理装置，或者生物学家对某些有机体进行的观察，或者甚至社会学家对某些社会群体的考察。动力学模型由态空间和矢量场构成。态空间是该实验情形的几何空间（例如，欧几里得平面或一般地某个拓扑流形）。矢量场代表了状态变化的习惯趋势，被称作该模型的动力学。我们如何才能找出轨迹从而找出系统的行为呢？从技术上看，这个问题是由获得该系统的相图来解决的。这意味着，我们必须要构造出该动力系统的轨迹。给定一个态空间和一个（“平滑”）矢量场，如果在切矢量的意义上，其速度矢量与矢量场的一致，在态空间的一条曲线就是该动力系统的一条轨迹［图2．5］。相应于零时刻的点叫做轨迹的起始态。这些轨迹被认为是，描述了系统的在一定时间间隔中的观测行为。而且，物理学家曾经雄心勃勃地力图实现对于无限长时间未来的预测，并计算出大自然的途径，就像大自然是一架大钟一样。
让我们扼要看一看牛顿的宇宙。它表现为通过使用牛顿、莱布尼茨和欧拉等人的数学工具，对动力系统理论的成功应用。牛顿用3个定律支配着实物物体的行为。第一定律（“惯性定律”）说，一个物体将保持匀速的直线运动，如果没有外力作用于它。如果的确有外力作用于它，那么其质量乘以其加速度就等于该外力（第二定律）。再加上第三定律就完成了基本框架：对于每一个作用总是有一个相反的大小相等的反作用。牛顿的宇宙由微粒构成，在空间作圆周运动，它服从欧几里得几何定律。这些微粒的加速度由作用于其上的力所决定。作用于每一微粒的力，是所有其他微粒的力的矢量和。如果此种力是一种引力，那么它在两个物体之间的吸引作用的强度，与两个质量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。当然，在此还可能有其他