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（录入者，这个图中给出了三种坐标，一种是直角坐标，一种极坐标，还有一种是双极坐标――似乎不很常见，据说在航海中很有用，这种坐标用某点与已知两点所成的角度来表示点的位置的，故坐标值是两个角度，很明显。它无法表示与已知的两点共线的所有点）
对于我们这些具有三维空间概念的人来说，要想象比三维多的多维空间是困难的，而想象比三维少的低维空间则是容易的。一个平面，一个球面，或不管什么面，都是二维空间，因为对于面上的任意一点，只要用两个数就可以描述。同理，线（直线或曲线）是一维的，因为只需要一个数便可以描述线上的各点的位置。我们还可以说，点是零维的，因为在一个点上没有第二个不同的位置。可是话说回来，谁对点感兴趣呢！
作为一种三维的生物，我们觉得很容易理解线和面的几何性质，这是因为我们能“从外面”观察它们。但是，对三维空间的几何性质，就不那么容易了，因为我们是这个空间的一部分。这个原因解释了为什么我们不费什么事就理解了曲线和曲面的概念，而一听说有弯曲的三维空间就大吃一惊。
不过，在讨论弯曲的三维空间之前，还是先来做几节有关一维曲线、二维曲面和普通三维空间的脑力操吧。
作者：wyhsillypig 回复日期：2004…12…25 12：22：00
２、不量尺寸的几何学
你在学校里早就与几何学搞得很熟了。在你的记忆中，这是一门量度的科学，它的大部分内容，是一大堆叙述长度和角度的各种数值关系的定理（例如，毕达哥拉斯定理就是叙述直角三角形三边长度的关系的）。然而，空间的许多最基本的性质，却根本用不着测量长度和角度。几何学中有关这一类内容的分支叫拓朴学。
现在举一个简单的典型拓扑学的例子，设想有一个封闭的几何面，比如说一个球面，它被一些线分成许多区域。我们可以这样做：在球面上任选一些点，用不相交的线把它们连接起来。那么，这些点的数目、连线的数目和区域的数目之间有什么关系呢。
首先，十分明显的一点是：如果把这个圆球挤成南瓜样的扁球，或拉成黄瓜那样的长条，那么，点、线、块的数目显然还和圆球时的数目一样。事实上，我们可以取任何形状的闭曲面，就象随意拉挤压扭一个气球时所能得到的那么曲面（但不能把气球撕裂或割破）一样。这时，上述问题的提法和结论都没有丝毫改变。而在一般几何学中，如果把一个正方体变成平行六面体，或把球形压成饼形，各种数值（如线的长度、面积、体积等）都会发生很大变化。这一点是两种几何学的很大不同之处。
我们现在可以将这个划分好的球的每一区域都展平，这样，球就变成了多面体（图13），相邻区域的界线变成了棱，原先挑选的点就成了顶点。
这样一来，我们刚才那个问题就变成（本质上没有任何改变）：一个任意形状的多面体的面、棱和顶点的数目之间有什么关系？
图14示出了五种正多面体（即所有各个面都有同样多边和顶点）和一个随意画出的不规则多面体。
我们可以数一数这些几何体各自拥有的顶点数、棱数和面数，看看它们之间有没有什么关系。
数一数以后，我们得到下面的表。
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多面体名称 │ 顶点数Ｖ│ 棱数Ｅ │ 面数Ｆ│ Ｖ＋Ｆ │Ｅ＋２
───────┼─────┼─────┼────┼─────┼────
四面体 │ ４ │ ６ │ ４ │ ８ │ ８
───────┼─────┼─────┼────┼─────┼────
六面体 │ ８ │ １２ │ ６ │ １４ │ １４
───────┼─────┼─────┼────┼─────┼────
八面体 │ ６ │ １２ │ ８ │ １４ │ １４
───────┼─────┼─────┼────┼─────┼────
二十面体 │ １２ │ ３０ │ ２０ │ ３２ │ ３２
───────┼─────┼─────┼────┼─────┼────
十二面体 │ ２０ │ ３０ │ １２ │ ３２ │ ３２
───────┼─────┼─────┼────┼─────┼────
古怪体 │ ２１ │ ４５ │ ２６ │ ４７ │ ４７
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前面三栏的数据，乍一看来好象没有什么相互关系。但仔细研究一下，就会发现，顶点数和面数之和总是比棱数大2。因此，我们可以写出这样一个关系式：
Ｖ＋Ｆ＝Ｅ＋２
这个是适用于任何多面体呢，还是只适用于图14上这几个特殊的多面体？你不妨再画几个其它样子的多面体，数数它们的顶点、棱和面。你会发现，结果还是一样。可见，Ｖ＋Ｆ＝Ｅ＋２是拓扑学的一个普遍适用的数学定理，因为这个关系式并不涉及到棱的长短或面的大小，它只牵涉到各种几何学单位（顶点、面、棱）的数目。
这个关系是十七世纪法国的大数学家笛卡尔（Rene descartes）最先注意到的，它的严格证明则由另一位数学家欧拉作出。这个定理现在被称为欧拉定理。
下面就是欧拉定理的证明，引自古朗特（Rurant）和罗宾斯（H。Robbins）的著作〖数学是什么？〗。我们可以看一看，这一类型的定理是如何证明的。
为了证明欧拉的公式，我们可以把给定的简单多面体想象成用橡皮薄膜作成的中空体（图15a）。如果我们割去它的一个面，然后使它变形，把它摊成一个平面（图15b）。当然，这么一来，面积和棱间的角度都会有所改变。然而这个平面网络的顶点数和边数都与原多面体一样，而多边形的数目则比原来多面体的面数少了一个（因为割去了一个面）。下面我们将证明，对于这个平面网络，V’…E＋F=1。这样，在加上割去的那个面以后，结果就成为：对于原多面体，V…E＋F=2。
首先，我们把这个平面网络“三角形化”，即给网络中不是三角形的多边形加上对角线。这样，Ｅ和Ｆ的数目都会增加。但由于每加一条对角线，Ｅ和Ｆ都增加１，因此V…E＋F仍保持不变。这样添加下去，最后，所有的多边形都会变成三角形（图15C）。在这个三角形化了的网络中，V…E＋F仍和三角形化以前的数值一样，因为添加对角线并不改变这个数值。
有一些三角形位于网络边缘，其中有的（如）只有一条边位于边缘，有的则可能有两条边。我们依次把这些边缘三角形的那些不属于其它三角形的边、顶点和面拿掉（图）。这样，从，我们拿去了边和这个三角形的面，只留下顶点和两条边，从，我们拿去了平面、两条边和顶点。
在式的去法中，Ｅ和Ｆ都减少１，但Ｖ不变，因而V…E＋F不变。在式的去法中，Ｖ减少１，Ｅ减少２，Ｆ减少１。因而V…E＋F仍不变。以适当方式逐个减少这些边缘三角形。直到最后只剩下一个三角形。一个三角形有三条边、三个顶点和一个面。对于这个简单的网络，V…E＋F＝3…3＋1=1。我们已经知道，V…E＋F并不随三角形的减少而改变，因此，在开始的那个网络中，V…E＋F也应该等于1。但是，这个网络又比原来那个多面体少一个面，因此，对于完整的多面体，V…E＋F=2。这就证明了欧拉的公式。
欧拉公式的一条有趣的推论就是：只可能有五种正多面体存在，就是图14中那五种。
作者：wyhsillypig 回复日期：2004…12…25 12：23：00
如果把前面几页的讨论仔细推敲一下，你可能就会注意到，在画出图14上所示的“各种不同”的多面体，以及在用数学推理证明欧位定理时，我们都作了一个内在的假设，它使我们在选择多面体时受了相当的限制。这个内在假设就是：多面体必须没有任何透眼。所谓透眼，不是气球上撕去一块后所形成的形状。而是象面包圈或橡皮轮胎正中的那个窟窿的模样。
这只要看图16就清楚了。这儿有两种不同的几何体，它们和图14所示的一样，也都是多面体。
现在我们来看看，欧拉定理对这两个新的多面体适用不适用。
在第一个几何体上，可数出16个顶点、32条棱和16个面；这样，V＋F=32，而E＋2=34，不对了。第二个有28个顶点、54条棱和30个面；V＋F=58；E＋2=56，这就更不对了。
为什么会这样呢？我们对欧位定理作一般证明时的推理对于这两个例子错在哪里呢？
错就错在；我们以前所考虑到的多面体可以看成一个球胆或气球，而现在这种新型多面体却应看成橡皮轮胎或更为复杂的橡胶制品。对于这类多面体，无法进行上述证明过程所必需的步骤－－“割去它的一个面，然后使它变形，把它摊成一个平面。”
如果是一个球胆，那么，用剪刀剪去一块之后，就很容易完成这个步骤。对于一个轮胎，却无论如何也不会成功。要是图16还不能使你相信这一点，你找条旧轮胎动手试一试也可以！
但是不要认为对于这类较为复杂的多面体，Ｖ，Ｅ和Ｆ之间就没有关系了。关系是有的，说得科学一点，即对于环状圆纹曲面型的多面体，Ｖ＋Ｆ＝Ｅ。而对于那种蜜麻花型的，则Ｖ＋Ｆ＝Ｅ－２。一般说来，Ｖ＋Ｆ＝Ｅ＋２－２Ｎ，Ｎ表示透眼的个数。
另一个典型的拓扑学问题与欧拉定理密切有关，它是所谓“四色问题”。假设有一个球面划分成若干区域；把这球面涂上颜色，要求任何两个相邻的区域（即有共同边界的区域）不能涂上同一种颜色。问完成这项工作，最少需要几种颜色？很容易看出，两种颜色一般来说是不够用�