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如果从有理数的角度来揣想这样的数，你一定会得出结论说，这样的式子没有任何意义，这是可以引用十二世纪的一位数学家拜斯。迦罗（Brahmin Bhaskara）的话：“正数的平方是正数，负数的平方也是正数。因此，一个正数的平方根是两重的：一个正数和一个负数。负数没有平方根，因为负数并不是平方数。”
可是数学家的脾气倔强得很。如果有些看起来没有意义的东西不断在数学公式中冒头，他们就会尽可能造出一些意义来。负数的平方根就在很多地方冒过头，既在古老而简单的算术问题上出现，也在二十世纪相对论的时空结合问题上露面。
第一个将负数的平方根这个“显然”没有意义的东西写到公式里的勇士，是十六世纪的意大利数学家卡尔丹（Cardan）。在讨论是否有可能将10分成两部分，使两者的乘积等于40时，他指出，尽管这个问题没有有理解，然而，如果把答案写成5＋sqrt（…15）和5…sqrt（…15）这样两个怪模怪样的表达式，就可以满足要求了。
尽管卡尔丹认为这两个表达式没有意义，是虚构的、想象的，但是，他毕竟把它们写下来了。
既然有人敢把负数的平方根写下来，并且，尽管这有点想入非非，却把10分成两个乘起来等于40的事办成了；这样，有人开了头，负数的平方根－－卡尔丹给它起了个大号叫“虚数”－－就越来越经常地被科学家们所使用了，虽则总是伴有很大保留，并且要提出种种借口。在著名瑞士科学家欧拉1770年发表的代数著作中，有许多地方用到了虚数。然而，对这种数，他又加上了这样一个掣肘的评语：“一切如sqrt（…1）的数学式，都是不可能有的、想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都是不是少些什么。它们纯属虚幻。”
但是，尽管有这些非难和遁辞，虚数还是迅速成为分数和根式中无法避免的东西。没有它们，简直可以说寸步难行。
不妨说，虚数构成了实数在镜子里的幻象。而且，正象我们从基数1可以得到所有实数一样，我们可以把sqrt（…1）作为虚数的基数，从而得到所有的虚数。通常写作i。
不难看出
sqrt（…9）=sqrt（9）×sqrt（…1）=3i
sqrt（…7）=sqrt（7）×sqrt（…1）=2。646…。。i
…。。
这么一来，每一个实数都有自己的虚数搭档。此外，实数和虚数结合起来，形成单一的表达式，例如5＋sqrt（…15）=5＋sqrt（15）i。这种表示方法是卡尔丹发明的，而这种混成的表达式通常称做复数。
虚数闯进数学的领地之后，足足有两个世纪的时间，一直披着一张神秘的、不可思议的面纱。直到两个业余数学家给虚数作出了简单的几何解释后，这张面纱才被揭去，这两个人是：测绘员威塞尔（Wessel），挪威人；会计师阿尔刚（Robert Argand），法国巴黎人。
按照他们的解释，一个复数，例如3＋4i，可以象图10（录入者，就是一个复平面，这个大家应该都知道了）那样表示出来，其中3是水平方向的座标，4是垂直方向的座标。
所有的实数（正数和负数）都对应于横轴上的点，而纯虚数则对应于纵轴上的点。当我们把位于横轴上的实数3乘以虚数单位i时，就得到位于纵轴上的纯虚数。因此，一个数乘以i，在几何上相当于逆时针旋转90（见图10）
如果把再乘以i，则又须再逆转90，这一下又回到横轴上，不过却位于负数那一边了。因为3i×I=3×exp（i；2）=…3
或exp（i；2）=…1
“i的平方等于…1”这个说法，比“两次旋转90（都旋时针进行）便变成反向”更容易理解。
这个规则同样适用于复数。把3＋4i乘以i，得到
（3＋4i）I=3i＋4exp（i；2）=3i…4=…4＋3i
从图10可立即看出，正好相当于这个点绕原点逆时针旋转了90。同样的道理，一个数乘上…i就是它绕原点顺时针旋转90。这一点从图10也能看出。
如果你现在仍然觉得虚数带有一张神秘的面纱，那么，让我们通过一个简单的，包含有虚数的实际应用的习题来把这张面纱揭去吧。
（录入者：乔治先生在下边给出的这个例子中的故事非常有意思，有兴趣的话大家可以自己做一下试验，这非常有助于你对复数的威力的理解）
作者：wyhsillypig 回复日期：2004…12…25 12：06：00
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从前，有个富于冒险精神的年轻人，在他曾祖父的遗物中发现了一张羊皮纸，上面指出了一项宝藏。它是这样写着的：
乘船到北纬（＿）、西经（＿），即可找到一座荒岛，岛的北岸有一大片草地。草地上有一株橡树和一株松树。还有一座绞架，那是我们过去用来吊死叛变者的。从绞架走到橡树，并记住走了多少步；到了橡树向右拐个直角再走这么多步，在这里打个桩。然后回到绞架那里，朝松树走去，同时记住所走的步数，到松树向左拐个直角再走这么多步。在这里也打个桩。在两个桩的正当中挖掘，就可找到宝藏。
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这道指示很清楚、明白。所以，这位年轻人就租了一条船开往目的地。他找到了这座岛，也找到了橡树和松树。但使他大失所望的是，绞架不见了。经过长时间的风吹日晒，绞架已糟烂成土，一点痕迹与看不出了
我们这位年轻的冒险家陷入了绝望。在狂乱中，他在地上乱掘起来。但是，地方太大了。一切只是白费力气。他只好两手空空，启帆回程。因此，那项宝藏恐怕还在那岛上埋着呢！
这是一个令人伤心的故事。然而，更令人伤心的是：如果这个小伙子懂得点数学。特别是虚数，他本来是有可能找到这项宝藏的。现在我们来为他找找看，尽管已经为时太晚，于他无补了。
我们把这个岛看成一个复数平面，过两棵树干画一轴线（实轴），过两树中点与实轴垂直作虚轴（见图11），并以两树距离的一半作为长度单位。这样，橡树位于实轴上的…1点上，松树则位于＋1点上。我们不晓得绞架在何处，不妨用大写的希腊字母Γ（这个字母的样子倒象个绞架！）表示它的假设位置。这个位置不一定在两根轴上，因此，应该是个复数，即
Γ=a＋bi
现在来搞点小计算，同时别忘记了我们以前讲过的虚数的乘法。既然绞架在Γ，橡树在…1，两者的距离和方位便为…1…Γ。同理，绞架与松树相距1…Γ。将这两段距离分别顺时针和逆时针旋转90，也就是按上述规则把两个距离分别乘以…i和i。这样便得出两根桩的位置为：
第一根：（…i）＇…（1＋Γ）＇＋1=i（Γ＋1）＋1
第二根：（＋i）（1…Γ）…1=i（1…Γ）…1
（这一部分作者使用了向量减法，大家最好在纸上画一画，就明白这两个算式的意义了）
宝藏在两根桩的正中间，因此，我们应该求出上述两个复数之和的一半，即
（1/2）＇i（Γ＋1）＋1＋I（1…Γ）…1＇=（1/2）＇iΓ＋i＋1＋i…IΓ…1＇=（1/2）（2i）=i
现在可以看出，所表示的未知绞架的位置Γ已经在运算过程中消失了。不管这绞架在何处，宝藏都在i这个点上。
瞧，如果我们这位年轻的探险家能做这么一点点数学运算，他就无须在整个岛上挖来挖去，他只要在图11中打处×一挖，就可以把宝贝弄到手了。
如果你还是不相信要找到宝藏，可以完全不知道绞架的位置，你不妨拿一张纸，画上两棵树的位置。再在不同的地方假设几次绞架的位置。然后按羊皮纸文件上的方法去做。不管做多少次，你一定总是得到复数平面中那个位置。
依靠…1的平方根这个虚数，人们还找到了另一个宝藏，这就是发现普通的三维空间可以和时间结合，从而形成遵从四维几何学规律的四维空间。下一章在介绍爱因斯坦的思维和他的相对论时，我们将再讨论这一发现。
第二部分 空间、时间与爱因斯坦
第三章 空间的不寻常的性质
大家都知道什么叫空间，不过，如果要抠这个词的准确意义，恐怕又会说不出个所以然来。你大概会这样说：空间乃包含万物，可供万物在其中上下、前后、左右运动者也。三个互相垂直的独立方向的存在，描述了我们所处的物理空间的最基本的性质之一；我们说，这个空间是三个方向的，即三维的。空间的任何位置都可利用这三个方向来确定。如果我们到了一座不熟悉的城市，想找某一家有名商号的办事处，旅店服务员就会告诉你：“向南走过五条街，往右拐，再过两条马路，上第七层楼。”这三个数一般称为座标。在这个例子里，坐标确定了大街、楼的层数和出发点（旅店前厅）的关系。显然，从其他任何地方来判别同一目标的方位时，只要采用一套能正确表达新出发点和目标之间的关系的坐标就行了。并且，只要知道新、老坐标系统的相对位置，就可以通过简单的数学运算，用老坐标来表示出新坐标。这个过程叫做坐标变换。这里得说明一句，三个坐标不一定非得是表示距离的数不可，在某些情况下，用角度当坐标要方便得多。
举例来说，在纽约，位置往往用街和马路来表示，这是直角坐标；在莫斯科则要换成极坐标。从城堡辐射出若干街道，环城堡又有若干条同心的干路。这时，如果说某座房子位于克里姆林宫正东北方向第二十条马路上，当然会很便当。
图12给出了几种用三个坐标表示空间中某一点的位置的方法，其中有的坐标是距离，有的坐标是角度。但不论什么系统，都需要三个数。因为我们所研究的是三维空间。
（录入者，这个图中给出了三种坐标，一种是直角坐标，一种极坐标，还有一种是双极坐标――似乎不很常见，据说在航海中很有用，这